Review Exercise - -مکمل وضاحتی گائیڈ
سوال 1: متعدد انتخابی سوالات
(i) √7 ہے:
جواب: (c) غیر ناطق عدد
وضاحت:
√7 = 2.64575131… (نہ ختم ہونے والا، نہ دہرایا جانے والا اعشاریہ)
7 مکمل مربع نہیں ہے (1²=1، 2²=4، 3²=9)
جو اعداد مکمل مربع نہیں، ان کے جذر غیر ناطق ہوتے ہیں۔
(ii) π اور e ہیں:
جواب: (d) غیر ناطق اعداد
وضاحت:
π = 3.1415926535… (کبھی ختم نہیں ہوتا، کبھی دہرایا نہیں جاتا)
e = 2.718281828… (کبھی ختم نہیں ہوتا، کبھی دہرایا نہیں جاتا)
دونوں مشہور غیر ناطق اعداد ہیں۔
(iii) اگر n مکمل مربع نہیں ہے، تو √n ہے:
جواب: (d) غیر ناطق عدد
وضاحت:
مکمل مربع اعداد: 1، 4، 9، 16، 25، 36…
اگر n اس فہرست میں نہیں ہے تو √n غیر ناطق ہے۔
مثال: √2، √3، √5، √6، √7، √8، √10…
(iv) √3 + √5 ہے:
جواب: (d) غیر ناطق عدد
وضاحت:
√3 غیر ناطق ہے، √5 غیر ناطق ہے
دو غیر ناطق اعداد کا مجموعہ غیر ناطق ہوتا ہے۔
√3 + √5 = 1.732… + 2.236… = 3.968… (غیر ناطق)
(v) تمام x ∈ R کے لیے، x = x کہلاتا ہے:
جواب: (a) انعکاسی خاصیت
وضاحت:
انعکاسی خاصیت: a = a (ہر عدد اپنے آپ کے برابر ہے)
یہ مساوات کی سب سے بنیادی خاصیت ہے۔
(vi) فرض کریں a, b, c ∈ R، پھر a > b اور b > c ⇒ a > c کہلاتا ہے:
جواب: (b) متعدی خاصیت
وضاحت:
متعدی خاصیت: اگر a > b اور b > c، تو a > c
یہ خاصیت عدم مساوات پر لاگو ہوتی ہے۔
(vii) 2ˣ × 8ˣ = 64 تو x =
حل:
2ˣ × 8ˣ = 64
2ˣ × (2³)ˣ = 2⁶
2ˣ × 2³ˣ = 2⁶
2⁴ˣ = 2⁶
4x = 6
x = 6/4
x = 3/2
جواب: (a) 3/2
(viii) فرض کریں a, b ∈ R، پھر a = b اور b = a کہلاتا ہے:
جواب: (b) متناظر خاصیت
وضاحت:
متناظر خاصیت: اگر a = b، تو b = a
مساوات دونوں طرف کام کرتی ہے۔
(ix) √75 + √27 =
حل:
√75 = √(25 × 3) = 5√3
√27 = √(9 × 3) = 3√3
√75 + √27 = 5√3 + 3√3 = 8√3
جواب: (d) 8√3
(x) (3+√5)(3-√5) کی حاصل ضرب ہے:
حل:
(3+√5)(3-√5) = 3² – (√5)²
= 9 – 5
= 4
4 ایک صحیح عدد ہے جو ناطق عدد ہے۔
جواب: (d) ناطق عدد
سوال 2: تقسیمی خاصیت کی تصدیق کریں
دیا گیا: a = 3/2، b = 5/3، c = 7/5
(i) a(b + c) = ab + ac
LHS:
b + c = 5/3 + 7/5
= (25 + 21)/15
= 46/15
a(b + c) = 3/2 × 46/15
= (3 × 46)/(2 × 15)
= 138/30
= 23/5
RHS:
ab = 3/2 × 5/3 = 15/6 = 5/2
ac = 3/2 × 7/5 = 21/10
ab + ac = 5/2 + 21/10
= 25/10 + 21/10
= 46/10
= 23/5
✅ تصدیق شدہ: LHS = RHS = 23/5
(ii) (a + b)c = ac + bc
LHS:
a + b = 3/2 + 5/3
= (9 + 10)/6
= 19/6
(a + b)c = 19/6 × 7/5
= (19 × 7)/(6 × 5)
= 133/30
RHS:
ac = 3/2 × 7/5 = 21/10 = 63/30
bc = 5/3 × 7/5 = 35/15 = 7/3 = 70/30
ac + bc = 63/30 + 70/30
= 133/30
✅ تصدیق شدہ: LHS = RHS = 133/30
سوال 3: ساتھی خاصیت کی تصدیق کریں
دیا گیا: a = 4/3، b = 5/2، c = 7/4
جمع کی ساتھی خاصیت: (a + b) + c = a + (b + c)
LHS:
a + b = 4/3 + 5/2
= (8 + 15)/6
= 23/6
(a + b) + c = 23/6 + 7/4
= (46 + 21)/12
= 67/12
RHS:
b + c = 5/2 + 7/4
= (10 + 7)/4
= 17/4
a + (b + c) = 4/3 + 17/4
= (16 + 51)/12
= 67/12
✅ تصدیق شدہ: (a + b) + c = a + (b + c) = 67/12
ضرب کی ساتھی خاصیت: (a × b) × c = a × (b × c)
LHS:
a × b = 4/3 × 5/2 = 20/6 = 10/3
(a × b) × c = 10/3 × 7/4
= 70/12
= 35/6
RHS:
b × c = 5/2 × 7/4 = 35/8
a × (b × c) = 4/3 × 35/8
= 140/24
= 35/6
✅ تصدیق شدہ: (a × b) × c = a × (b × c) = 35/6
سوال 4: کیا 0 ایک ناطق عدد ہے؟
جواب: جی ہاں، 0 ایک ناطق عدد ہے۔
وضاحت:
ناطق عدد وہ عدد ہے جسے p/q کی شکل میں ظاہر کیا جا سکے جہاں q ≠ 0 ہو۔
0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 = …
یہاں p = 0، q = 1 (q ≠ 0)
لہٰذا، 0 ایک ناطق عدد ہے۔
سوال 5: تثلیثی خاصیت بیان کریں
جواب:
تثلیثی خاصیت کے مطابق، دو حقیقی اعداد a اور b کے لیے، درج ذیل میں سے صرف ایک درست ہے:
a > b (a، b سے بڑا ہے)
a = b (a، b کے برابر ہے)
a < b (a، b سے چھوٹا ہے)
وضاحت:
چوتھا کوئی امکان نہیں ہے۔
ایک وقت میں صرف ایک درست ہو سکتا ہے۔
مثال: 3 اور 5 کے لیے، صرف 3 < 5 درست ہے۔
سوال 6: 4 اور 5 کے درمیان دو ناطق اعداد معلوم کریں
طریقہ 1: کسر استعمال کرتے ہوئے
4 = 4/1 = 8/2 = 12/3 = 16/4 = 20/5
5 = 5/1 = 10/2 = 15/3 = 20/4 = 25/5
4 اور 5 کے درمیان:
9/2 = 4.5
14/3 ≈ 4.67
✅ جواب: 9/2 اور 14/3 (یا 4.5 اور 4.67)
طریقہ 2: اعشاریہ استعمال کرتے ہوئے
4.1 = 41/10
4.5 = 9/2
4.7 = 47/10
✅ جواب: 4.1 اور 4.5
سوال 7: درج ذیل کو سادہ کریں
(i) √(x¹⁵ y³⁵ / z³⁰)
حل:
= √(x¹⁵) × √(y³⁵) / √(z³⁰)
= x¹⁵/² × y³⁵/² / z¹⁵
= x⁷·⁵ × y¹⁷·⁵ / z¹⁵
= x⁷ × √x × y¹⁷ × √y / z¹⁵
= x⁷ y¹⁷ √(xy) / z¹⁵
✅ جواب: x⁷ y¹⁷ √(xy) / z¹⁵
(ii) ³√(27)²ˣ
حل:
= ³√(3³)²ˣ
= ³√(3⁶ˣ)
= (3⁶ˣ)¹/³
= 3²ˣ
✅ جواب: 3²ˣ
(iii) 6(3)ˣ⁺² / (3ˣ⁺¹ – 3ˣ)
حل:
= 6(3)ˣ⁺² / [3ˣ(3¹ – 1)]
= 6(3)ˣ⁺² / [3ˣ(3 – 1)]
= 6(3)ˣ⁺² / [3ˣ(2)]
= 6(3)ˣ⁺² / (2 × 3ˣ)
= 3(3)ˣ⁺² / 3ˣ
= 3 × 3²
= 3 × 9
= 27
✅ جواب: 27
سوال 8: تین متواتر طاق اعداد کا مجموعہ
دیا گیا: مجموعہ = 51
تصور: متواتر طاق اعداد میں 2 کا فرق ہوتا ہے۔
حل:
تین متواتر طاق اعداد فرض کریں:
پہلا = x
دوسرا = x + 2
تیسرا = x + 4
x + (x + 2) + (x + 4) = 51
3x + 6 = 51
3x = 45
x = 15
لہٰذا:
پہلا = 15
دوسرا = 17
تیسرا = 19
✅ جواب: 15، 17، 19
تصدیق: 15 + 17 + 19 = 51 ✅
سوال 9: دو بالٹیوں میں گیندیں
دیا گیا:
کل گیندیں = 96
ایک بالٹی میں دوسری سے 28 زیادہ ہیں۔
حل:
چھوٹی بالٹی میں = x گیندیں
بڑی بالٹی میں = x + 28 گیندیں
x + (x + 28) = 96
2x + 28 = 96
2x = 68
x = 34
لہٰذا:
چھوٹی بالٹی = 34 گیندیں
بڑی بالٹی = 34 + 28 = 62 گیندیں
✅ جواب: 34 اور 62 گیندیں
تصدیق: 34 + 62 = 96 ✅
سوال 10: سادہ منافع کا حساب
دیا گیا:
اصل رقم = روپے 3,50,000
پہلی شرح = 7¼% = 29/4% = 7.25% برائے 2 سال
دوسری شرح = 8% برائے باقی 5 سال (7 – 2 = 5 سال)
تصور: سادہ منافع = P × R × T / 100
حل:
مرحلہ 1: پہلے 2 سالوں کا منافع
I₁ = 3,50,000 × 7.25 × 2 / 100
I₁ = 3,50,000 × 14.5 / 100
I₁ = 3,50,000 × 0.145
I₁ = 50,750
مرحلہ 2: اگلے 5 سالوں کا منافع
I₂ = 3,50,000 × 8 × 5 / 100
I₂ = 3,50,000 × 40 / 100
I₂ = 3,50,000 × 0.4
I₂ = 1,40,000
مرحلہ 3: کل منافع
کل منافع = I₁ + I₂
= 50,750 + 1,40,000
= 1,90,750
مرحلہ 4: کل رقم
رقم = اصل رقم + کل منافع
= 3,50,000 + 1,90,750
= 5,40,750
✅ جواب: روپے 5,40,750