Exercise 1.1 -مکمل وضاحتی گائیڈ
سوال 1: ناطق یا غیر ناطق اعداد کی پہچان
تصور کی وضاحت:
ناطق اعداد (Rational Numbers): وہ اعداد جو p/q کی شکل میں لکھے جا سکیں جہاں q ≠ 0 ہو۔
ختم ہونے والے اعشاریہ (مثال: 0.5، 2.75)
بار بار آنے والے اعشاریہ (مثال: 0.333…، 1.252525…)
تمام صحیح اعداد اور کسر
غیر ناطق اعداد (Irrational Numbers): وہ اعداد جو p/q کی شکل میں نہیں لکھے جا سکتے۔
نہ ختم ہونے والے، نہ دہرائے جانے والے اعشاریہ
غیر مکمل مربع اعداد کے جذر
π (پائی)، e (یولر نمبر)
(i) 2.353535
قسم: ✅ ناطق عدد
وضاحت:
یہ عدد بار بار آنے والا اعشاریہ ہے (353535 دہرایا جا رہا ہے)۔ جو بھی عدد دہرایا جائے وہ ناطق ہوتا ہے۔ اسے p/q کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ اس کی ناطق شکل: 233/99 (تقریباً)
(ii) 0.6
قسم: ✅ ناطق عدد
وضاحت:
یہ ختم ہونے والا اعشاریہ ہے۔ 0.6 = 6/10 = 3/5۔ جو بھی اعشاریہ ختم ہو جائے وہ ناطق ہوتا ہے اور اسے p/q کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔
(iii) 2.236067…
قسم: ❌ غیر ناطق عدد
وضاحت:
یہ نہ ختم ہونے والا، نہ دہرایا جانے والا اعشاریہ ہے۔ تین نقطے (…) ظاہر کر رہے ہیں کہ یہ عدد کبھی ختم نہیں ہوتا۔ یہ دراصل √5 ہے۔ √5 غیر ناطق ہے کیونکہ 5 مکمل مربع نہیں ہے۔ اسے p/q کی شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔
(iv) √7
قسم: ❌ غیر ناطق عدد
وضاحت:
√7 کا مطلب ہے “7 کا جذر”۔ 7 مکمل مربع نہیں ہے (1²=1، 2²=4، 3²=9)۔ جو عدد مکمل مربع نہیں، اس کا جذر غیر ناطق ہوتا ہے۔ اس کی اعشاریہ قیمت: 2.64575131… (کبھی ختم نہیں ہوتی)
(v) e
قسم: ❌ غیر ناطق عدد
وضاحت:
e (یولر نمبر) ≈ 2.718281828… یہ ایک مشہور غیر ناطق عدد ہے۔ یہ نہ ختم ہونے والا اور نہ دہرایا جانے والا اعشاریہ ہے۔ ریاضی میں قدرتی لاگرتھم (Natural Logarithms) میں استعمال ہوتا ہے۔
(vi) π (پائی)
قسم: ❌ غیر ناطق عدد
وضاحت:
π (پائی) ≈ 3.1415926535… یہ سب سے مشہور غیر ناطق عدد ہے۔ یہ دائرے کے محیط اور قطر کا تناسب ہے۔ اس کی اعشاریہ قیمت کبھی ختم نہیں ہوتی اور کوئی خاص ترتیب دہرائی نہیں جاتی۔
(vii) 5 + √1
قسم: ✅ ناطق عدد
وضاحت:
√1 = 1 (کیونکہ 1 × 1 = 1)۔ 5 + 1 = 6۔ 6 ایک صحیح عدد ہے اور تمام صحیح اعداد ناطق ہوتے ہیں۔ اسے 6/1 لکھا جا سکتا ہے۔
(viii) √3 + √13
قسم: ❌ غیر ناطق عدد
وضاحت:
√3 غیر ناطق ہے (3 مکمل مربع نہیں) اور √13 غیر ناطق ہے (13 مکمل مربع نہیں)۔ دو غیر ناطق اعداد کا مجموعہ بھی غیر ناطق ہوتا ہے۔ اسے p/q کی شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔
(ix) (2 – √2)(2 + √2)
قسم: ✅ ناطق عدد
وضاحت:
یہ (a – b)(a + b) = a² – b² کا فارمولا استعمال کر رہا ہے۔
(2 – √2)(2 + √2) = 2² – (√2)² = 4 – 2 = 2
2 ایک صحیح عدد ہے جو ناطق ہے۔ اسے 2/1 لکھا جا سکتا ہے۔
(x) 15/4
قسم: ✅ ناطق عدد
وضاحت:
یہ پہلے سے p/q کی شکل میں ہے۔ p = 15، q = 4 (q ≠ 0)۔ اس لیے یہ ناطق عدد ہے۔
سوال 2: اعداد کو خط اعداد پر ظاہر کرنا
تصور کی وضاحت:
خط اعداد ایک سیدھی لکیر ہوتی ہے جس پر اعداد کو دکھایا جاتا ہے۔ صفر مرکز میں ہوتا ہے، دائیں جانب مثبت اعداد، بائیں جانب منفی اعداد۔
(i) √2 (جذر 2)
طریقہ کار:
ایک خط اعداد بنائیں اور 0 اور 1 نشان زد کریں۔
نقطہ 1 سے عمودی (کھڑی) لکیر 1 اکائی اوپر کھینچیں۔
0 سے عمودی لکیر کے آخر تک لکیر کھینچیں (یہ √2 ہے)۔
پرکار (Compass) سے 0 سے √2 تک کا فاصلہ ناپیں۔
خط اعداد پر 0 سے دائیں جانب یہ فاصلہ نشان زد کریں۔
وضاحت:
√2 ≈ 1.414 (1 اور 2 کے درمیان)۔ پائتھاگورس کا قاعدہ استعمال ہوتا ہے (1² + 1² = 2)۔
(ii) √3 (جذر 3)
طریقہ کار:
پہلے √2 کو اوپر والے طریقے سے معلوم کریں۔
نقطہ √2 سے عمودی لکیر 1 اکائی اوپر کھینچیں۔
0 سے عمودی لکیر کے آخر تک لکیر کھینچیں (یہ √3 ہے)۔
پرکار سے 0 سے √3 تک کا فاصلہ ناپیں۔
خط اعداد پر 0 سے دائیں جانب یہ فاصلہ نشان زد کریں۔
وضاحت:
√3 ≈ 1.732 (1 اور 2 کے درمیان)۔ √2 اور √3 دونوں غیر ناطق ہیں۔
(iii) 100/5
طریقہ کار:
پہلے سادہ کریں: 100 ÷ 5 = 20
خط اعداد پر 0 اور 20 کے درمیان فاصلہ ناپیں۔
0 سے دائیں جانب 20 نشان زد کریں۔
وضاحت:
100/5 = 20 (صحیح عدد ہے)۔ تمام صحیح اعداد خط اعداد پر دکھائے جا سکتے ہیں۔
(iv) -2 (منفی 2)
طریقہ کار:
خط اعداد پر 0 نشان زد کریں۔
0 سے بائیں جانب 2 اکائی شمار کریں۔
اس نقطہ کو -2 نشان زد کریں۔
وضاحت:
منفی اعداد 0 کے بائیں جانب دکھائے جاتے ہیں۔ -2 کا مطلب ہے 0 سے 2 اکائی بائیں۔
(v) √8 (جذر 8)
طریقہ کار:
سادہ کریں: √8 = √(4 × 2) = 2√2
پہلے √2 معلوم کریں۔
0 سے √2 تک کا فاصلہ ناپیں اور 2 بار کریں۔
خط اعداد پر 0 سے دائیں جانب یہ فاصلہ نشان زد کریں۔
وضاحت:
√8 ≈ 2.828 (2 اور 3 کے درمیان)۔ اسے 2√2 لکھا جا سکتا ہے۔
سوال 3: ناطق عدد (p/q) کی شکل میں ظاہر کریں
تصور کی وضاحت:
کسی بھی عدد کو p/q کی شکل میں لکھنا ہے، جہاں q ≠ 0 ہو۔
(i) 0.4
حل:
0.4 = 4/10
سادہ کریں: 4/10 ÷ 2/2 = 2/5
✅ p = 2، q = 5
(ii) 0.37
حل:
0.37 = 37/100
پہلے سے سادہ ہے (37 مفرد عدد ہے)
✅ p = 37، q = 100
(iii) 0.21
حل:
0.21 = 21/100
پہلے سے سادہ ہے (21 اور 100 کا مشترک عامل 1 ہے)
✅ p = 21، q = 100
سوال 4: استعمال ہونے والی خاصیت کا نام بتائیں
تصور کی وضاحت:
حقیقی اعداد کی خصوصیات کو پہچاننا ہے۔
(i) (a + 4) + b = a + (4 + b)
جواب: ✅ جمع کی ساتھی خاصیت (Associative Property of Addition)
وضاحت:
اعداد کو مختلف گروہوں میں جمع کرنے سے نتیجہ یکساں آتا ہے۔
فارمولا: (a + b) + c = a + (b + c)
(ii) √2 + √3 = √3 + √2
جواب: ✅ جمع کی تبدیلی خاصیت (Commutative Property of Addition)
وضاحت:
اعداد کا ترتیب بدلنے سے جمع یکساں رہتا ہے۔
فارمولا: a + b = b + a
(iii) x – x = 0
جواب: ✅ جمعی معکوس خاصیت (Additive Inverse Property)
وضاحت:
کسی بھی عدد میں اس کی منفی قیمت جمع کرنے سے 0 آتا ہے۔
فارمولا: a + (-a) = 0
(iv) a(b + c) = ab + ac
جواب: ✅ تقسیمی خاصیت (Distributive Property)
وضاحت:
ضرب، جمع پر تقسیم ہوتی ہے۔
فارمولا: a × (b + c) = a × b + a × c
(v) 16 + 0 = 16
جواب: ✅ جمعی شناختی خاصیت (Additive Identity Property)
وضاحت:
کسی بھی عدد میں 0 جمع کرنے سے وہی عدد آتا ہے۔
فارمولا: a + 0 = a
(vi) 100 × 1 = 100
جواب: ✅ ضربی شناختی خاصیت (Multiplicative Identity Property)
وضاحت:
کسی بھی عدد کو 1 سے ضرب دینے سے وہی عدد آتا ہے۔
فارمولا: a × 1 = a
(vii) 4 × (5 × 8) = (4 × 5) × 8
جواب: ✅ ضرب کی ساتھی خاصیت (Associative Property of Multiplication)
وضاحت:
اعداد کو مختلف گروہوں میں ضرب دینے سے نتیجہ یکساں آتا ہے۔
فارمولا: (a × b) × c = a × (b × c)
(viii) ab = ba
جواب: ✅ ضرب کی تبدیلی خاصیت (Commutative Property of Multiplication)
وضاحت:
اعداد کا ترتیب بدلنے سے حاصل ضرب یکساں رہتا ہے۔
فارمولا: a × b = b × a
سوال 5: استعمال ہونے والی خاصیت کا نام بتائیں
(i) -3 < -10 < 2
جواب: ✅ عدم مساوات کی متعدی خاصیت (Transitive Property of Inequality)
وضاحت:
اگر a < b اور b < c، تو a < c
نوٹ: یہاں -3 < -10 غلط ہے کیونکہ -3، -10 سے بڑا ہے۔
درست: -10 < -3 < 2 ہونا چاہیے تھا۔
(ii) اگر a < b تو 1/a > 1/b
جواب: ✅ عدم مساوات کی معکوس خاصیت (Reciprocal Property of Inequality)
وضاحت:
اگر a < b (مثبت اعداد)، تو 1/a > 1/b
مثال: 2 < 5، تو 1/2 > 1/5 (0.5 > 0.2)
(iii) اگر a < b تو a + c < b + c
جواب: ✅ عدم مساوات کی جمع خاصیت (Addition Property of Inequality)
وضاحت:
دونوں طرف ایک ہی عدد جمع کرنے سے عدم مساوات برقرار رہتی ہے۔
(iv) اگر ac < bc اور c > 0 تو a < b
جواب: ✅ عدم مساوات کی ضرب خاصیت (مثبت) (Multiplication Property of Inequality – Positive)
وضاحت:
مثبت عدد سے تقسیم کرنے سے عدم مساوات برقرار رہتی ہے۔
c > 0 ہے، اس لیے a < b
(v) اگر ac < bc اور c < 0 تو a > b
جواب: ✅ عدم مساوات کی ضرب خاصیت (منفی) (Multiplication Property of Inequality – Negative)
وضاحت:
منفی عدد سے تقسیم کرنے سے عدم مساوات الٹ جاتی ہے۔
c < 0 ہے، اس لیے a > b (عدم مساوات الٹ گئی)
(vi) یا تو a > b یا a = b یا a < b
جواب: ✅ تثلیثی خاصیت (Trichotomy Property)
وضاحت:
دو اعداد کے درمیان 3 امکانات ہیں: یا تو a بڑا ہے، یا برابر ہے، یا چھوٹا ہے۔ کوئی اور آپشن نہیں۔
سوال 6: دو ناطق اعداد درج کریں
تصور کی وضاحت:
دو اعداد کے درمیان ناطق اعداد تلاش کرنے ہیں۔
(i) 1/3 اور 4/5 کے درمیان
مرحلہ 1: LCM (3، 5) = 15
مرحلہ 2: نسب یکساں کریں
1/3 = 5/15
4/5 = 12/15
مرحلہ 3: 5/15 اور 12/15 کے درمیان اعداد: 6/15، 7/15، 8/15، 9/15، 10/15، 11/15
مرحلہ 4: سادہ شکل میں لکھیں
6/15 = 2/5
7/15
✅ جواب: 2/5 اور 7/15 (بہت سے ممکن ہیں)
(ii) 3 اور 4 کے درمیان
مرحلہ 1: 3 اور 4 کے درمیان اعداد تلاش کریں
مرحلہ 2: مشترک نسب استعمال کریں (مثال: 2)
3 = 6/2، 4 = 8/2
مرحلہ 3: 6/2 اور 8/2 کے درمیان: 7/2
مرحلہ 4: دوسرا عدد (نسب 3)
3 = 9/3، 4 = 12/3، 10/3، 11/3
✅ جواب: 7/2 اور 10/3 (بہت سے ممکن ہیں)
(iii) 1/4 اور 5/4 کے درمیان
مرحلہ 1: نسب یکساں ہے (4)
مرحلہ 2: 1/4 اور 5/4 کے درمیان اعداد
2/4 = 1/2
3/4
✅ جواب: 1/2 اور 3/4 (بہت سے ممکن ہیں)