Exercise 1.2 - -مکمل وضاحتی گائیڈ
سوال 1: نسب کو ناطق بنانا (Rationalize the Denominator)
تصور کی وضاحت:
نسب کو ناطق بنانے کا مطلب ہے کہ نسب (denominator) سے جذر (√) کو ہٹانا ہے۔ اس کے لیے ہم مزوج (conjugate) استعمال کرتے ہیں۔
مزوج کا اصول:
(a + b)(a – b) = a² – b²
اگر نسب (a + √b) ہے تو مزوج (a – √b) سے ضرب دیں
اگر نسب (a – √b) ہے تو مزوج (a + √b) سے ضرب دیں
(i) 13 / (4 + √3)
مرحلہ 1: نسب میں (4 + √3) ہے
مرحلہ 2: مزوج (4 – √3) سے ضرب دیں
= 13/(4+√3) × (4-√3)/(4-√3)
= 13(4-√3) / (4+√3)(4-√3)
= 13(4-√3) / (16 – 3)
= 13(4-√3) / 13
= 4 – √3
✅ جواب: 4 – √3
(ii) (√2 + √5) / √3
مرحلہ 1: نسب میں √3 ہے
مرحلہ 2: √3 سے ضرب دیں (صورت اور نسب دونوں کو)
= (√2 + √5)/√3 × √3/√3
= √3(√2 + √5) / 3
= (√6 + √15) / 3
✅ جواب: (√6 + √15) / 3
(iii) (√2 – 1) / √5
مرحلہ 1: نسب میں √5 ہے
مرحلہ 2: √5 سے ضرب دیں
= (√2 – 1)/√5 × √5/√5
= √5(√2 – 1) / 5
= (√10 – √5) / 5
✅ جواب: (√10 – √5) / 5
(iv) (6 – 4√2) / (6 + 4√2)
مرحلہ 1: نسب میں (6 + 4√2) ہے
مرحلہ 2: مزوج (6 – 4√2) سے ضرب دیں
= (6-4√2)/(6+4√2) × (6-4√2)/(6-4√2)
= (6-4√2)² / (6+4√2)(6-4√2)
= (36 – 48√2 + 32) / (36 – 32)
= (68 – 48√2) / 4
= 17 – 12√2
✅ جواب: 17 – 12√2
(v) (√3 – √2) / (√3 + √2)
مرحلہ 1: نسب میں (√3 + √2) ہے
مرحلہ 2: مزوج (√3 – √2) سے ضرب دیں
= (√3-√2)/(√3+√2) × (√3-√2)/(√3-√2)
= (√3-√2)² / (√3+√2)(√3-√2)
= (3 – 2√6 + 2) / (3 – 2)
= (5 – 2√6) / 1
= 5 – 2√6
✅ جواب: 5 – 2√6
(vi) 4√3 / (√7 + √5)
مرحلہ 1: نسب میں (√7 + √5) ہے
مرحلہ 2: مزوج (√7 – √5) سے ضرب دیں
= 4√3/(√7+√5) × (√7-√5)/(√7-√5)
= 4√3(√7-√5) / (√7+√5)(√7-√5)
= 4√3(√7-√5) / (7 – 5)
= 4√3(√7-√5) / 2
= 2√3(√7-√5)
= 2√21 – 2√15
✅ جواب: 2√21 – 2√15
سوال 2: درج ذیل کو سادہ کریں
تصور کی وضاحت:
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁰ = 1
(i) (81/16)⁻³/⁴
= (16/81)³/⁴
= (2⁴ / 3⁴)³/⁴
= (2/3)⁴ × ³/⁴
= (2/3)³
= 8/27
✅ جواب: 8/27
(ii) (3/4)⁻² ÷ (4/9)³ × 16/27
مرحلہ 1: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9
مرحلہ 2: (4/9)³ = 64/729
مرحلہ 3: 16/9 ÷ 64/729 × 16/27
= 16/9 × 729/64 × 16/27
= (16 × 729 × 16) / (9 × 64 × 27)
= 256/64
= 4
✅ جواب: 4
(iii) (0.027)⁻¹/³
0.027 = 27/1000 = 3³/10³ = (3/10)³
(0.027)⁻¹/³ = (3/10)³ × ⁻¹/³
= (3/10)⁻¹
= 10/3
✅ جواب: 10/3
(iv) √(x³⁴y²¹z³⁵ / y³⁴z⁷)
= √(x³⁴ × y²¹⁻³⁴ × z³⁵⁻⁷)
= √(x³⁴ × y⁻¹³ × z²⁸)
= (x³⁴ × y⁻¹³ × z²⁸)¹/²
= x¹⁷ × y⁻¹³/² × z¹⁴
= x¹⁷ z¹⁴ / y¹³/²
✅ جواب: x¹⁷ z¹⁴ / y¹³/²
(v) [5(25)ⁿ⁺¹ – 25(5)²ⁿ] / [5(5)²ⁿ⁺² – (25)ⁿ⁺¹]
مرحلہ 1: 25 = 5²
= [5(5²)ⁿ⁺¹ – 25(5)²ⁿ] / [5(5)²ⁿ⁺² – (5²)ⁿ⁺¹]
= [5(5)²ⁿ⁺² – 5²(5)²ⁿ] / [5(5)²ⁿ⁺² – (5)²ⁿ⁺²]
مرحلہ 2: فرض کریں 5²ⁿ = a
= [125a – 25a] / [125a – 25a]
= 100a / 100a
= 1
✅ جواب: 1
(vi) [(16)ⁿ⁺¹ + 20(4²ⁿ)] / [2⁵ × 8ⁿ⁺²]
مرحلہ 1: 16 = 2⁴، 4 = 2²، 8 = 2³
= [(2⁴)ⁿ⁺¹ + 20(2²)²ⁿ] / [2⁵ × (2³)ⁿ⁺²]
= [2⁴ⁿ⁺⁴ + 20(2⁴ⁿ)] / [2⁵ × 2³ⁿ⁺⁶]
= [2⁴ⁿ(2⁴ + 20)] / [2³ⁿ⁺¹¹]
= [2⁴ⁿ(16 + 20)] / [2³ⁿ⁺¹¹]
= [2⁴ⁿ(36)] / [2³ⁿ⁺¹¹]
= 36 × 2⁴ⁿ⁻³ⁿ⁻¹¹
= 36 × 2ⁿ⁻¹¹
✅ جواب: 36 × 2ⁿ⁻¹¹
(vii) (64)²/³ ÷ (9)³/²
(64)²/³ = (4³)²/³ = 4² = 16
(9)³/² = (3²)³/² = 3³ = 27
16 ÷ 27 = 16/27
✅ جواب: 16/27
(viii) (3ⁿ × 9ⁿ⁺¹) / (3ⁿ⁻¹ × 9ⁿ⁻¹)
= [3ⁿ × (3²)ⁿ⁺¹] / [3ⁿ⁻¹ × (3²)ⁿ⁻¹]
= [3ⁿ × 3²ⁿ⁺²] / [3ⁿ⁻¹ × 3²ⁿ⁻²]
= 3³ⁿ⁺² / 3³ⁿ⁻³
= 3⁵
= 243
✅ جواب: 243
(ix) (5ⁿ⁺³ – 6.5ⁿ⁺¹) / (9 × 5ⁿ – 2³ × 5ⁿ)
= [5ⁿ⁺¹(5² – 6)] / [5ⁿ(9 – 8)]
= [5ⁿ⁺¹(25 – 6)] / [5ⁿ(1)]
= [5ⁿ⁺¹(19)] / 5ⁿ
= 5 × 19
= 95
✅ جواب: 95
سوال 3: اگر x = 3 + √8
تصور کی وضاحت:
x + 1/x کا فارمولا استعمال کریں
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
دیا گیا: x = 3 + √8 = 3 + 2√2
1/x معلوم کریں: مزوج استعمال کریں
1/x = 1/(3+2√2)
= (3-2√2)/(9-8)
= 3 – 2√2
(i) x + 1/x
= (3+2√2) + (3-2√2)
= 6
✅ جواب: 6
(ii) x – 1/x
= (3+2√2) – (3-2√2)
= 4√2
✅ جواب: 4√2
(iii) x² + 1/x²
فارمولا: x² + 1/x² = (x + 1/x)² – 2
= (6)² – 2
= 36 – 2
= 34
✅ جواب: 34
(iv) x² – 1/x²
فارمولا: x² – 1/x² = (x – 1/x)(x + 1/x)
= (4√2)(6)
= 24√2
✅ جواب: 24√2
(v) x⁴ + 1/x⁴
فارمولا: x⁴ + 1/x⁴ = (x² + 1/x²)² – 2
= (34)² – 2
= 1156 – 2
= 1154
✅ جواب: 1154
(vi) (x – 1/x)²
= (4√2)²
= 32
✅ جواب: 32
سوال 4: p اور q معلوم کریں
دیا گیا: (8 – 3√2) / (4 + 3√2) = p + q√2
مرحلہ 1: نسب کو ناطق بنائیں
= (8-3√2)/(4+3√2) × (4-3√2)/(4-3√2)
= (8-3√2)(4-3√2) / (16 – 18)
= (32 – 24√2 – 12√2 + 18) / (-2)
= (50 – 36√2) / (-2)
= -25 + 18√2
مرحلہ 2: p + q√2 سے موازنہ کریں
p = -25
q = 18
✅ جواب: p = -25، q = 18
سوال 5: درج ذیل کو سادہ کریں
(i) [(25)³/² × (243)³/⁵] / [(16)¹/⁴ × (8)¹/³]
25 = 5² → (25)³/² = (5²)³/² = 5³ = 125
243 = 3⁵ → (243)³/⁵ = (3⁵)³/⁵ = 3³ = 27
16 = 2⁴ → (16)¹/⁴ = (2⁴)¹/⁴ = 2
8 = 2³ → (8)¹/³ = (2³)¹/³ = 2
= (125 × 27) / (2 × 2)
= 3375 / 4
✅ جواب: 3375/4
(ii) 54 × √(27)²ˣ / [9ⁿ⁺¹ + 216(3²ˣ⁻¹)]
مرحلہ 1: √(27)²ˣ = √(3³)²ˣ = √3⁶ˣ = 3³ˣ
مرحلہ 2: 54 = 2 × 27 = 2 × 3³
= 54 × 3³ˣ / [9ⁿ⁺¹ + 216(3²ˣ⁻¹)]
= (2 × 3³) × 3³ˣ / [3²ⁿ⁺² + 6³ × 3²ˣ⁻¹]
= 2 × 3³ˣ⁺³ / [3²ⁿ⁺² + 216 × 3²ˣ⁻¹]
نوٹ: اس کا مزید سادہ کرنا ممکن نہیں کیونکہ x اور n الگ متغیر ہیں۔
(iii) √[(216)²/³ × (25)⁻¹/² / (0.04)⁻³/²]
216 = 6³ → (216)²/³ = (6³)²/³ = 6² = 36
25 = 5² → (25)⁻¹/² = (5²)⁻¹/² = 5⁻¹ = 1/5
0.04 = 4/100 = 1/25 = (1/5)² → (0.04)⁻³/² = (1/5)⁻³ = 5³ = 125
= √[(36 × 1/5) / 125]
= √[36 / (5 × 125)]
= √[36 / 625]
= 6/25
✅ جواب: 6/25
(iv) (a¹/³ + b²/³) × (a²/³ – a¹/³b²/³ + b⁴/³)
مرحلہ 1: فرض کریں a¹/³ = x، b²/³ = y
مرحلہ 2: اظہار بنتا ہے: (x + y)(x² – xy + y²)
= x³ + y³
مرحلہ 3: واپس تبدیل کریں:
= (a¹/³)³ + (b²/³)³
= a + b²
✅ جواب: a + b²