9class.online

سوال 1: تین متواتر اعداد کا مجموعہ

دیا گیا: تین متواتر اعداد کا مجموعہ 42 ہے

تصور: متواتر اعداد سے مراد وہ اعداد ہیں جو ایک کے بعد ایک آتے ہیں (مثال: 1،2،3 یا 5،6،7)

حل کے مراحل:

تین متواتر اعداد کو فرض کریں:

• پہلا عدد = x

• دوسرا عدد = x + 1

• تیسرا عدد = x + 2

مساوات:

x + (x + 1) + (x + 2) = 42
3x + 3 = 42
3x = 39
x = 13

لہٰذا:

• پہلا عدد = 13

• دوسرا عدد = 14

• تیسرا عدد = 15

✅ جواب: 13، 14، 15

تصدیق: 13 + 14 + 15 = 42 ✅

سوال 2: مثلث میں لمبائی AB معلوم کریں

دیا گیا:

• قائم الزاویہ مثلث ABC

• AC = (√3 + √5) سینٹی میٹر

• رقبہ = (1 + √15) سینٹی میٹر²

تصور: قائم الزاویہ مثلث کا رقبہ = ½ × قاعدہ × ارتفاع

حل کے مراحل:

قائم الزاویہ مثلث ABC میں جس کا زاویہ قائمہ B پر ہے:

• قاعدہ = AB (جو ہمیں معلوم کرنا ہے)

• ارتفاع = BC (دیا نہیں گیا)

• وتر = AC = (√3 + √5)

مرحلہ 1: رقبے کا فارمولا

رقبہ = ½ × AB × BC
(1 + √15) = ½ × AB × BC
AB × BC = 2(1 + √15)
AB × BC = 2 + 2√15

مرحلہ 2: فیثا غورث کا قاعدہ استعمال کریں

AC² = AB² + BC²
(√3 + √5)² = AB² + BC²
3 + 2√15 + 5 = AB² + BC²
8 + 2√15 = AB² + BC²

مرحلہ 3: ہم جانتے ہیں کہ (AB + BC)² = AB² + BC² + 2AB×BC

(AB + BC)² = (8 + 2√15) + 2(2 + 2√15)
(AB + BC)² = 8 + 2√15 + 4 + 4√15
(AB + BC)² = 12 + 6√15

مرحلہ 4: اس کے علاوہ (AB – BC)² = AB² + BC² – 2AB×BC

(AB – BC)² = (8 + 2√15) – 2(2 + 2√15)
(AB – BC)² = 8 + 2√15 – 4 – 4√15
(AB – BC)² = 4 – 2√15

مرحلہ 5: √(4 – 2√15) کو (√5 – √3) لکھا جا سکتا ہے

AB – BC = √5 – √3 (مثبت قیمت)

مرحلہ 6: AB اور BC کے لیے حل کریں

AB = √3 + √5
BC = √5 – √3

تصدیق: AB × BC = (√3 + √5)(√5 – √3) = 5 – 3 = 2 ✓

✅ جواب: AB = √3 + √5 سینٹی میٹر

سوال 3: مستطیل کا رقبہ

دیا گیا:

• لمبائی = 2 + √18 میٹر

• چوڑائی = 5 – 4/√2 میٹر

تصور: رقبہ = لمبائی × چوڑائی

حل کے مراحل:

مرحلہ 1: دونوں اصطلاحات کو سادہ کریں

√18 = √(9 × 2) = 3√2
لہٰذا لمبائی = 2 + 3√2

4/√2 = 4/√2 × √2/√2 = 4√2/2 = 2√2
لہٰذا چوڑائی = 5 – 2√2

مرحلہ 2: رقبہ = (2 + 3√2)(5 – 2√2)

= 2(5 – 2√2) + 3√2(5 – 2√2)
= 10 – 4√2 + 15√2 – 6(2)
= 10 – 4√2 + 15√2 – 12
= (10 – 12) + (-4√2 + 15√2)
= -2 + 11√2

✅ جواب: -2 + 11√2 (رقبہ میٹر² میں)

سوال 4: دو اعداد جن کا مجموعہ 68 اور فرق 22 ہے

دیا گیا:

• مجموعہ = 68

• فرق = 22

تصور: اعداد کو x اور y فرض کریں

حل کے مراحل:

بڑا عدد x اور چھوٹا عدد y فرض کریں

x + y = 68 … (1)
x – y = 22 … (2)

مرحلہ 1: مساوات (1) اور (2) کو جمع کریں

(x + y) + (x – y) = 68 + 22
2x = 90
x = 45

مرحلہ 2: x کی قیمت مساوات (1) میں ڈالیں

45 + y = 68
y = 23

✅ جواب: 45 اور 23

تصدیق:

• مجموعہ: 45 + 23 = 68 ✅

• فرق: 45 – 23 = 22 ✅

سوال 5: سیلسیس سے فارن ہائیٹ میں تبدیلی

دیا گیا:

• درجہ حرارت = 48°C

فارمولا: °F = (9/5)°C + 32

حل:

°F = (9/5) × 48 + 32
°F = 9 × 9.6 + 32
°F = 86.4 + 32
°F = 118.4

✅ جواب: 118.4°F

سوال 6: باپ اور بیٹے کی عمریں

دیا گیا:

• موجودہ عمروں کا مجموعہ = 72 سال

• چھ سال پہلے، باپ کی عمر بیٹے کی عمر سے 2 گنا تھی

تصور: موجودہ عمروں کو متغیر فرض کریں

حل کے مراحل:

باپ کی موجودہ عمر = x
بیٹے کی موجودہ عمر = y

x + y = 72 … (1)

چھ سال پہلے:
باپ کی عمر = x – 6
بیٹے کی عمر = y – 6

دیا گیا: (x – 6) = 2(y – 6)

x – 6 = 2y – 12
x = 2y – 6 … (2)

مرحلہ 1: x کی قیمت (2) سے (1) میں ڈالیں

(2y – 6) + y = 72
3y – 6 = 72
3y = 78
y = 26

مرحلہ 2: چھ سال پہلے بیٹے کی عمر

بیٹے کی عمر چھ سال پہلے = y – 6
= 26 – 6
= 20

✅ جواب: 20 سال

سوال 7: 15% منافع کے لیے فروخت کی قیمت

دیا گیا:

• موجودہ فروخت قیمت = روپے 1520 (یہ قیمت خرید ہے)

نوٹ: سوال کہتا ہے “مرحہ ایک کھلونا روپے 1520 میں فروخت کرتی ہے” اور پوچھتا ہے “15% منافع حاصل کرنے کے لیے فروخت کی قیمت کیا ہوگی؟”

اس کا مطلب ہے کہ روپے 1520 قیمت خرید ہے۔

تصور: منافع% = (منافع/قیمت خرید) × 100

حل کے مراحل:

قیمت خرید (CP) = روپے 1520
منافع = 15%
فروخت قیمت (SP) = CP × (100 + منافع%) / 100
SP = 1520 × (100 + 15) / 100
SP = 1520 × 115 / 100
SP = 1520 × 1.15
SP = 1748

✅ جواب: روپے 1748

سوال 8: ٹیکس کا حساب

دیا گیا:

• سالانہ آمدنی = روپے 9,60,000

• مستثنیٰ رقم = روپے 1,30,000

• ٹیکس کی شرح = 0.75%

تصور: ٹیکس کا حساب قابل ٹیکس آمدنی پر لگایا جاتا ہے (آمدنی – استثنیٰ)

حل کے مراحل:

مرحلہ 1: قابل ٹیکس آمدنی معلوم کریں

قابل ٹیکس آمدنی = کل آمدنی – مستثنیٰ رقم
= 9,60,000 – 1,30,000
= 8,30,000

مرحلہ 2: ٹیکس کا حساب لگائیں

ٹیکس = قابل ٹیکس آمدنی × ٹیکس کی شرح
= 8,30,000 × 0.75/100
= 8,30,000 × 0.0075
= 6,225

✅ جواب: روپے 6,225

سوال 9: مرکب مارک اپ

دیا گیا:

• اصل رقم = روپے 3,75,000

• مدت = 1 سال

• شرح = 14% سالانہ مرکب

تصور: مرکب مارک اپ کا فارمولا

حل کے مراحل:

مرکب مارک اپ = P[(1 + r/100)ⁿ – 1]

جہاں:
P = اصل رقم = 3,75,000
r = شرح = 14%
n = مدت = 1 سال

مارک اپ = 3,75,000[(1 + 14/100)¹ – 1]
= 3,75,000[(1.14) – 1]
= 3,75,000[0.14]
= 52,500

✅ جواب: روپے 52,500