تعارف

نویں جماعت ریاضی کے یونٹ 12 میں اعداد و شمار کو جمع کرنے، ترتیب دینے، سمجھنے اور ان سے مختلف نتائج اخذ کرنے کے طریقے بیان کیے گئے ہیں۔ اس یونٹ کی Review Exercise 12 پورے باب کے اہم تصورات کو ایک جگہ دہرانے کا موقع فراہم کرتی ہے۔

اس جائزہ مشق میں کثیر الانتخابی سوالات، بنیادی تعریفیں، تعدادی جدول، تعدد، جماعتی حدود، درمیانی قیمت، اوسط، میڈین، موڈ، تعدادی کثیر الاضلاع، Histogram اور وزنی اوسط جیسے موضوعات شامل ہیں۔

یہ مشق امتحان سے پہلے پورے یونٹ کی تیاری کے لیے خاص طور پر مفید ہے کیونکہ اس میں مختلف قسم کے سوالات کو ایک ساتھ شامل کیا گیا ہے۔

Unit 12 Review Exercise کا موضوع

اس جائزہ مشق میں بنیادی طور پر درج ذیل موضوعات شامل ہیں:

• معلومات اور اعداد و شمار
• مجرد اعداد و شمار
• تعدد
• تعدادی تقسیم
• جماعتی حدود
• جماعتی حدود کی سرحدیں
• درمیانی قیمت
• حدِ تفاوت
• اوسط
• میڈین
• موڈ
• Histogram
• Frequency Polygon
• مفروضہ اوسط
• انحراف
• وزنی اوسط

حصہ اول: اہم کثیر الانتخابی سوالات

سوال 1

(الف)

کون سے اعداد و شمار صرف مخصوص قدریں اختیار کرتے ہیں؟

جواب: مجرد اعداد و شمار

وضاحت:

مجرد اعداد و شمار ایسی قدریں ہوتی ہیں جنہیں گنا جا سکتا ہے اور جو مخصوص الگ الگ قیمتیں اختیار کرتی ہیں، مثلاً ایک کلاس میں طلبہ کی تعداد۔

(ب)

کسی قدر کے اعداد و شمار میں جتنی مرتبہ ظاہر ہونے کو کیا کہتے ہیں؟

جواب: تعدد

وضاحت:

اگر کوئی عدد کسی مجموعے میں کئی مرتبہ ظاہر ہو تو اس کے ظاہر ہونے کی تعداد کو تعدد کہتے ہیں۔

مثلاً:

2، 3، 3، 5، 5، 5

یہاں 5 کی تعدد 3 ہے۔

(ج)

درمیانی قیمت کو اور کس نام سے جانا جاتا ہے؟

جواب: جماعتی نشان

وضاحت:

کسی جماعتی وقفے کی نچلی اور بالائی حدود کا اوسط اس جماعت کا درمیانی نقطہ یا جماعتی نشان کہلاتا ہے۔

مثلاً:

20–29

درمیانی قیمت:

(20 + 29) ÷ 2 = 24.5

(د)

تعدادی کثیر الاضلاع بنانے کے لیے کس چیز کا استعمال کیا جاتا ہے؟

جواب: Histogram

وضاحت:

تعدادی کثیر الاضلاع عام طور پر Histogram کی مدد سے یا اس کے جماعتی درمیانی نقاط کو استعمال کرتے ہوئے بنایا جاتا ہے۔

(ہ)

سب سے بڑی اور سب سے چھوٹی قدر کے فرق کو کیا کہتے ہیں؟

جواب: حدِ تفاوت

وضاحت:

حدِ تفاوت معلوم کرنے کے لیے سب سے بڑی قدر میں سے سب سے چھوٹی قدر کو منفی کیا جاتا ہے۔

حدِ تفاوت = سب سے بڑی قدر − سب سے چھوٹی قدر

(و)

مرکزی رجحان کا پیمانہ اعداد و شمار کے کس حصے کو معلوم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے؟

جواب: درمیانی یا مرکزی قدر

وضاحت:

مرکزی رجحان ہمیں یہ بتاتا ہے کہ اعداد و شمار کا مرکزی رجحان یا نمائندہ قدر کیا ہے۔ اوسط، میڈین اور موڈ اس کی اہم مثالیں ہیں۔

(ز)

اگر 5، 7، 8، 9 اور x کا اوسط 7.5 ہو تو x کی قیمت معلوم کریں۔

فارمولا:

اوسط = اعداد کا مجموعہ ÷ اعداد کی تعداد

لہٰذا:

7.5 = (5 + 7 + 8 + 9 + x) ÷ 5

7.5 × 5 = 29 + x

37.5 = 29 + x

x = 8.5

جواب:

x = 8.5

(ح)

درج ذیل اعداد کا موڈ معلوم کریں:

2، 5، 8، 9، 0، 1، 3، 7، 10

جواب:

کوئی موڈ نہیں

وضاحت:

ہر عدد صرف ایک مرتبہ آیا ہے، اس لیے کوئی بھی عدد دوسرے اعداد کے مقابلے میں زیادہ مرتبہ ظاہر نہیں ہوا۔

(ط)

اعداد و شمار میں وہ قدر جو سب سے زیادہ مرتبہ ظاہر ہو، اسے کیا کہتے ہیں؟

جواب:

موڈ

وضاحت:

موڈ وہ قدر ہے جو کسی مجموعے میں سب سے زیادہ مرتبہ ظاہر ہوتی ہے۔

(ی)

درج ذیل اعداد کا میڈین معلوم کریں:

110، 125، 122، 130، 124، 127، 120

اعداد کو ترتیب دیں:

110، 120، 122، 124، 125، 127، 130

کل اعداد = 7

درمیانی عدد = 124

جواب:

میڈین = 124

حصہ دوم: اہم تعریفیں

تعدادی تقسیم

ایسی جدول یا تقسیم جس میں مختلف جماعتوں یا گروہوں کے ساتھ ان کی متعلقہ تعدد درج کی جائے، تعدادی تقسیم کہلاتی ہے۔

Histogram

Histogram ایک ایسا گراف ہے جس میں مسلسل جڑی ہوئی مستطیل شکلیں استعمال کی جاتی ہیں۔ ہر مستطیل کسی جماعت اور اس کی تعدد کو ظاہر کرتا ہے۔

اگر جماعتی حدود برابر نہ ہوں تو مستطیلوں کی چوڑائی بھی مختلف ہوتی ہے۔

اوسط

کسی اعداد و شمار کی تمام قدروں کو جمع کرکے حاصل ہونے والے مجموعے کو اعداد کی کل تعداد سے تقسیم کیا جائے تو اوسط حاصل ہوتی ہے۔

اوسط = تمام قدروں کا مجموعہ ÷ قدروں کی تعداد

میڈین

اعداد کو صعودی یا نزولی ترتیب میں رکھنے کے بعد درمیان میں آنے والی قدر کو میڈین کہتے ہیں۔

اگر اعداد کی تعداد طاق ہو تو ایک درمیانی قدر لی جاتی ہے۔

اگر اعداد کی تعداد جفت ہو تو درمیان کی دو قدروں کا اوسط لیا جاتا ہے۔

سوال 3: 40 طلبہ کے وزن کی تعدادی تقسیم

40 طلبہ کے وزن درج ذیل ہیں:

138، 164، 150، 132، 144، 125، 149، 157، 146، 158، 140، 147، 136، 148، 152، 144، 168، 126، 138، 176، 163، 119، 154، 165، 146، 173، 142، 147، 135، 153، 140، 135، 161، 145، 135، 142، 150، 156، 145، 128

جماعتی وقفے کی چوڑائی 10 رکھی گئی ہے۔

تعدادی جدول

Histogram بنانے کے لیے

افقی محور پر جماعتی سرحدیں لیں:

118.5، 128.5، 138.5، 148.5، 158.5، 168.5، 178.5

عمودی محور پر تعدد لیں۔

ہر جماعت کے سامنے اس کی تعدد کے مطابق مستطیل بنائیں۔

تعدادی کثیر الاضلاع کے نقاط

درمیانی قیمت اور تعدد کو نقاط کی صورت میں لیں:

(123.5, 4)

(133.5, 7)

(143.5, 13)

(153.5, 9)

(163.5, 5)

(173.5, 2)

ان نقاط کو سیدھی لکیروں سے ملانے سے تعدادی کثیر الاضلاع حاصل ہوگا۔

سوال 4: غیر مساوی جماعتی حدود کا Histogram

درج ذیل وزن اور تعدد دی گئی ہے:

چونکہ جماعتوں کی چوڑائیاں برابر نہیں ہیں، اس لیے Histogram بناتے وقت صرف تعدد کو مستطیل کی اونچائی نہیں بنایا جائے گا۔

جماعتی سرحدیں

50–56 → 49.5–56.5

57–59 → 56.5–59.5

60–64 → 59.5–64.5

65–72 → 64.5–72.5

73–75 → 72.5–75.5

76–80 → 75.5–80.5

مستطیلوں کی اونچائیاں

25 ÷ 7 = 3.6

32 ÷ 3 = 10.7

40 ÷ 5 = 8

30 ÷ 8 = 3.75

15 ÷ 3 = 5

8 ÷ 5 = 1.6

اہم بات

جب جماعتی چوڑائیاں مختلف ہوں تو Histogram میں مستطیل کی اونچائی تعددِ کثافت کے مطابق لی جاتی ہے۔

یہ سوال اس تصور کو سمجھنے کے لیے بہت اہم ہے۔

سوال 5: جماعتی حدود اور درمیانی قیمت

حیاتیات کے ماہانہ امتحان میں 45 طلبہ کے نمبر دیے گئے ہیں۔

پانچویں جماعت کی بالائی سرحد

پانچویں جماعت:

40–44

اس کی بالائی سرحد:

44.5

جواب:

44.5

تمام جماعتوں کی نچلی سرحدیں

20–24 → 19.5

25–29 → 24.5

30–34 → 29.5

35–39 → 34.5

40–44 → 39.5

45–49 → 44.5

جواب:

19.5، 24.5، 29.5، 34.5، 39.5، 44.5

تمام جماعتوں کی درمیانی قیمتیں

درمیانی قیمت معلوم کرنے کا طریقہ:

درمیانی قیمت = (نچلی حد + بالائی حد) ÷ 2

لہٰذا:

20–24 → 22

25–29 → 27

30–34 → 32

35–39 → 37

40–44 → 42

45–49 → 47

جواب:

22، 27، 32، 37، 42، 47

سب سے کم تعدد والی جماعت

45–49 کی تعدد 2 ہے۔

جواب:

45–49

اس کی تعدد:

2

سوال 6: Histogram اور تعدادی کثیر الاضلاع

درج ذیل تعدادی تقسیم دی گئی ہے:

جماعتی سرحدیں

5–9 → 4.5–9.5

10–14 → 9.5–14.5

15–19 → 14.5–19.5

20–24 → 19.5–24.5

25–29 → 24.5–29.5

30–34 → 29.5–34.5

درمیانی قیمتیں

7، 12، 17، 22، 27، 32

Histogram

ہر جماعتی سرحد کے درمیان اس کی تعدد کے مطابق مستطیل بنایا جائے گا۔

تعدادی کثیر الاضلاع کے نقاط

(7, 1)

(12, 8)

(17, 18)

(22, 11)

(27, 2)

(32, 5)

ان نقاط کو سیدھی لکیروں سے ملانے سے تعدادی کثیر الاضلاع حاصل ہوگا۔

سوال 7: وزنی اوسط

درج ذیل اشیا کی مقدار اور قیمت دی گئی ہے:

وزنی اوسط کا فارمولا:

وزنی اوسط = مقدار × قیمت کا مجموعہ ÷ مقدار کا مجموعہ

حاصل ضربیں:

20 × 500 = 10000

20 × 400 = 8000

10 × 750 = 7500

25 × 230 = 5750

9 × 950 = 8550

حاصل ضربوں کا مجموعہ:

39800

مقداروں کا مجموعہ:

84

لہٰذا:

39800 ÷ 84 = 473.81

جواب:

وزنی اوسط = 473.81 روپے

سوال 8: اسکول کے مختلف شعبوں کے لیے رقم

اسکول کے پانچ شعبوں کے لیے رقم مختص کی گئی:

• کرسیاں = 15000 روپے
• میزیں = 12000 روپے
• بلیک بورڈ = 6000 روپے
• کمرے کی مرمت = 10000 روپے
• باغبانی = 7000 روپے

کل رقم:

15000 + 12000 + 6000 + 10000 + 7000

= 50000

شعبوں کی تعداد:

5

اوسط:

50000 ÷ 5

= 10000

جواب:

ہر شعبے کے لیے اوسط رقم = 10000 روپے

سوال 9: طالب علم کے نمبروں کا اوسط

سعد نے چھ ٹیسٹوں میں یہ نمبر حاصل کیے:

84، 91، 72، 68، 87، 78

تمام نمبروں کا مجموعہ:

84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480

ٹیسٹوں کی تعداد:

6

اوسط:

480 ÷ 6 = 80

جواب:

حسابی اوسط = 80 نمبر

سوال 10: مختصر طریقے سے اوسط

رسیوں کی زیادہ سے زیادہ برداشت کی جانے والی مقدار درج ذیل ہے:

مفروضہ اوسط:

A = 105

درمیانی قیمتیں:

95، 100، 105، 110، 115، 120

انحراف:

D = X − A

اس طرح حاصل ہوتا ہے:

فارمولا:

اوسط = A + ΣfD ÷ Σf

اوسط = 105 + 105 ÷ 35

اوسط = 105 + 3

اوسط = 108

جواب:

اوسط بوجھ = 108 کلوگرام

سوال 11: میڈین اور موڈ

ایک منصفانہ پاسا آٹھ مرتبہ پھینکا گیا۔ ہر مرتبہ حاصل ہونے والے مجموعے یہ تھے:

8، 6، 6، 6، 9، 4، 3، 11

پہلا مرحلہ: اعداد کو ترتیب دیں

3، 4، 6، 6، 6، 8، 9، 11

کل اعداد:

8

چونکہ تعداد جفت ہے، اس لیے درمیان کے دو اعداد لیے جائیں گے۔

چوتھا عدد = 6

پانچواں عدد = 6

میڈین:

(6 + 6) ÷ 2 = 6

جواب:

میڈین = 6

موڈ

عدد 6 تین مرتبہ آیا ہے، جبکہ باقی اعداد اس سے کم مرتبہ آئے ہیں۔

جواب:

موڈ = 6

اہم نکتہ

اس سوال میں میڈین اور موڈ دونوں کی قیمت 6 ہے۔

سوال 12: اجرتوں کا اوسط، میڈین اور موڈ

ایک کمپنی کے ملازمین کی ہفتہ وار اجرتیں درج ذیل ہیں:

اوسط

درمیانی قیمتیں:

650، 750، 850، 950، 1050

تعددی حاصل ضرب:

650 × 3 = 1950

750 × 5 = 3750

850 × 7 = 5950

950 × 21 = 19950

1050 × 11 = 11550

حاصل ضربوں کا مجموعہ:

43150

تعدد کا مجموعہ:

47

اوسط:

43150 ÷ 47

= 918.09

جواب:

اوسط اجرت = 918.09 روپے

میڈین

کل تعدد:

47

نصف:

47 ÷ 2 = 23.5

جمع شدہ تعدد:

600–700 → 3

700–800 → 8

800–900 → 15

900–1000 → 36

اس لیے 23.5ویں قدر 900–1000 والی جماعت میں ہے۔

لہٰذا درمیانی جماعت:

900–1000

فارمولا:

میڈین = l + h/f (n/2 − c)

یہاں:

l = 900

h = 100

f = 21

c = 15

n = 47

میڈین:

900 + 100/21 (23.5 − 15)

= 900 + 40.46

= 940.46

جواب:

میڈین = 940.46 روپے

موڈ

سب سے زیادہ تعدد 21 ہے۔

اس لیے موڈ والی جماعت:

900–1000

فارمولا:

موڈ = l + [(fm − f1) × h] ÷ [(fm − f1) + (fm − f2)]

یہاں:

l = 900

fm = 21

f1 = 7

f2 = 11

h = 100

حل کرنے پر:

موڈ = 900 + 58.33

جواب:

موڈ = 958.33 روپے

Review Exercise 12 کے انتہائی اہم Concepts

1. تعدد

کسی قدر کے ظاہر ہونے کی تعداد تعدد کہلاتی ہے۔

2. جماعتی سرحد

مسلسل جماعتوں کے درمیان حقیقی حد معلوم کرنے کے لیے جماعتی حدود میں عموماً 0.5 کی تبدیلی استعمال کی جاتی ہے۔

مثلاً:

20–24

جماعتی سرحد:

19.5–24.5

3. درمیانی قیمت

جماعتی حدود کی نچلی اور بالائی قیمت کا اوسط درمیانی قیمت دیتا ہے۔

4. حدِ تفاوت

سب سے بڑی قدر اور سب سے چھوٹی قدر کا فرق حدِ تفاوت ہے۔

حدِ تفاوت = زیادہ سے زیادہ قدر − کم سے کم قدر

5. مرکزی رجحان

اعداد کے مرکزی یا نمائندہ رجحان کو سمجھنے کے لیے اوسط، میڈین اور موڈ استعمال کیے جاتے ہیں۔

6. وزنی اوسط

جب مختلف قدروں کی اہمیت برابر نہ ہو تو وزنی اوسط زیادہ مناسب ہوتی ہے۔

امتحان کے لیے سب سے اہم سوالات

طلبہ کو Review Exercise 12 کی تیاری میں ان سوالات پر خصوصی توجہ دینی چاہیے:

1. مجرد اور مسلسل اعداد و شمار میں فرق۔
2. تعدادی تقسیم کی تعریف۔
3. Histogram کی تعریف۔
4. اوسط کی تعریف اور حساب۔
5. میڈین معلوم کرنے کا طریقہ۔
6. موڈ معلوم کرنے کا طریقہ۔
7. جماعتی حدود اور جماعتی سرحدوں میں فرق۔
8. درمیانی قیمت معلوم کرنا۔
9. گروپ شدہ اعداد و شمار کا Histogram بنانا۔
10. تعدادی کثیر الاضلاع بنانا۔
11. غیر مساوی جماعتی حدود کا Histogram۔
12. مختصر طریقے سے اوسط معلوم کرنا۔
13. وزنی اوسط معلوم کرنا۔
14. گروپ شدہ اعداد کا میڈین معلوم کرنا۔
15. گروپ شدہ اعداد کا موڈ معلوم کرنا۔

طلبہ کے لیے مفید معلومات

میڈین کے سوال میں سب سے اہم بات

اعداد کو ترتیب دیے بغیر میڈین معلوم نہ کریں۔

اوسط کے سوال میں

تمام اعداد کا مجموعہ اور اعداد کی تعداد درست معلوم کریں۔

موڈ کے سوال میں

دیکھیں کون سی قدر سب سے زیادہ مرتبہ ظاہر ہوئی ہے۔

Histogram میں

اگر جماعتی چوڑائیاں مختلف ہوں تو مستطیل کی اونچائی تعددِ کثافت کے مطابق لی جاتی ہے۔

تعدادی کثیر الاضلاع میں

عام طور پر جماعتی درمیانی قیمت کو افقی محور اور تعدد کو عمودی محور پر لیا جاتا ہے۔

وزنی اوسط میں

ہر قدر کو اس کے متعلقہ وزن یا مقدار سے ضرب دینا ضروری ہے۔

امتحان میں بار بار پوچھے جانے والے فارمولے

حسابی اوسط

اوسط = تمام قدروں کا مجموعہ ÷ قدروں کی تعداد

درمیانی قیمت

درمیانی قیمت = (نچلی حد + بالائی حد) ÷ 2

مفروضہ اوسط

اوسط = مفروضہ اوسط + تعدادی انحراف کا مجموعہ ÷ کل تعدد

وزنی اوسط

وزنی اوسط = قدر × وزن کا مجموعہ ÷ وزن کا مجموعہ

حدِ تفاوت

حدِ تفاوت = سب سے بڑی قدر − سب سے چھوٹی قدر

FAQs

Review Exercise 12 کس یونٹ کی مشق ہے؟

یہ نویں جماعت ریاضی کے یونٹ 12 کی جائزہ مشق ہے۔

Review Exercise 12 میں کون سے اہم موضوعات شامل ہیں؟

اس میں تعدد، تعدادی تقسیم، اوسط، میڈین، موڈ، جماعتی حدود، Histogram، تعدادی کثیر الاضلاع اور وزنی اوسط جیسے موضوعات شامل ہیں۔

اوسط اور میڈین میں کیا فرق ہے؟

اوسط تمام قدروں کے مجموعے کو ان کی تعداد سے تقسیم کرکے حاصل کی جاتی ہے، جبکہ میڈین ترتیب دیے گئے اعداد کی درمیانی قدر ہوتی ہے۔

موڈ کیسے معلوم کیا جاتا ہے؟

جو قدر اعداد کے مجموعے میں سب سے زیادہ مرتبہ ظاہر ہو، وہ موڈ کہلاتی ہے۔

کیا کسی اعداد و شمار میں موڈ نہ بھی ہو سکتا ہے؟

جی ہاں۔ اگر تمام قدریں صرف ایک ایک مرتبہ ظاہر ہوں تو کوئی موڈ نہیں ہوتا۔

Histogram کیا ہوتا ہے؟

Histogram ایک گراف ہے جس میں تعدادی تقسیم کو مسلسل مستطیلوں کی مدد سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

وزنی اوسط کب استعمال کی جاتی ہے؟

جب مختلف قدروں کی اہمیت یا وزن ایک جیسا نہ ہو تو وزنی اوسط استعمال کی جاتی ہے۔

جماعتی سرحدیں کیوں استعمال کی جاتی ہیں؟

جماعتی سرحدیں جماعتوں کے درمیان خلا ختم کرکے مسلسل تقسیم بنانے میں مدد دیتی ہیں، خاص طور پر Histogram بناتے وقت۔

خلاصہ

نویں جماعت ریاضی کی Review Exercise 12 پورے یونٹ کے اہم تصورات کو ایک جگہ جمع کرتی ہے۔ اس مشق میں بنیادی تعریفوں سے لے کر تعدادی جدول، Histogram، تعدادی کثیر الاضلاع، اوسط، میڈین، موڈ اور وزنی اوسط تک مختلف انداز کے سوالات شامل ہیں۔

امتحان کی تیاری کے لیے صرف حل یاد کرنے کے بجائے یہ سمجھنا زیادہ ضروری ہے کہ کون سے سوال میں کون سا طریقہ استعمال کرنا ہے۔ خاص طور پر جماعتی سرحد، درمیانی قیمت، تعدد، میڈین، موڈ اور وزنی اوسط کے طریقوں کو اچھی طرح سمجھ کر تیار کریں۔