9th Class Maths Unit 12 Exercise 12.1 – Information Handling
تعارف
اعداد و شمار کو منظم کرنا نویں جماعت ریاضی کے اہم موضوعات میں سے ایک ہے۔ اس باب میں طلبہ مختلف اعداد و شمار کو منظم کرنا، ان کی تعدد کی تقسیم تیار کرنا اور انہیں مختلف گرافی طریقوں کے ذریعے ظاہر کرنا سیکھتے ہیں۔
مشق 12.1 میں خاص طور پر جماعتی حدود، جماعتی حجم، تعدد، وسطی قدر، جماعتی سرحدیں، تعددی کثیرالاضلاع اور مستطیلی تعدادی گراف جیسے اہم تصورات شامل ہیں۔
اس مشق کے سوالات حل کرتے وقت سب سے پہلے دیے گئے اعداد و شمار کو سمجھنا اور پھر مناسب جماعتی وقفے بنانا ضروری ہوتا ہے۔
اہم اصطلاحات
1۔ اعداد و شمار
Data
کسی موضوع سے متعلق جمع کیے گئے اعداد و شمار کو ڈیٹا کہا جاتا ہے۔
مثلاً اگر ایک کلاس کے طلبہ کے نمبر درج ذیل ہوں:
45، 52، 60، 48، 72، 55
تو یہ تمام اعداد اس کلاس کا ڈیٹا ہیں۔
2۔ جماعتی حدود
Class Limits
کسی جماعتی وقفے کی سب سے چھوٹی قدر کو نچلی جماعتی حد، جبکہ سب سے بڑی قدر کو بالائی جماعتی حد کہتے ہیں۔
مثلاً:
24 – 28
اس میں:
Lower Class Limit = 24
Upper Class Limit = 28
3۔ جماعتی حجم
Class Size
جماعتی حجم سے مراد ہر جماعت میں شامل اقدار کا مقررہ وقفہ ہے۔
PDF کی مثال میں جماعتی حدود کا حجم 6 دیا گیا ہے، جبکہ مختلف سوالات میں 3، 5 اور 6 کو جماعتی حجم کے طور پر استعمال کیا گیا ہے۔
4۔ وسطی قدر
Midpoint
کسی جماعتی وقفے کی وسطی قدر معلوم کرنے کے لیے درج ذیل فارمولا استعمال کیا جاتا ہے:
Midpoint = (Lower Class Limit + Upper Class Limit) / 2
مثال:
Class = 34 – 38
لہٰذا:
Midpoint = (34 + 38) / 2
Midpoint = 72 / 2
Midpoint = 36
لہٰذا 34–38 کی وسطی قدر 36 ہے۔
جماعتی حدود کی تعداد معلوم کرنا
اگر اعداد و شمار کی سب سے بڑی قدر، سب سے چھوٹی قدر اور جماعتی حجم معلوم ہو تو جماعتی حدود کی تعداد معلوم کی جا سکتی ہے۔
فارمولا:
Number of Class Limits = (Greatest Value − Smallest Value) / Size of Class
مثال:
سب سے بڑی قدر:
Greatest Value = 80
سب سے چھوٹی قدر:
Smallest Value = 25
جماعتی حجم:
Class Size = 6
لہٰذا:
Number of Class Limits = (80 − 25) / 6
= 55 / 6
≈ 9.17
چونکہ جماعتیں مکمل ہونی چاہئیں، اس لیے تقریباً 10 جماعتی حدود لی جائیں گی۔
مشق 12.1 — سوال نمبر 1
پہلے سوال میں کیمسٹری کے طلبہ کے لیبارٹری اسکورز کو مختلف جماعتی وقفوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔
سوال میں طلبہ سے مختلف معلومات معلوم کرنے کے لیے کہا گیا ہے۔
(i) آخری جماعت کی بالائی حد
آخری جماعت:
49 – 53
ہے۔
لہٰذا:
Upper Limit = 53
(ii) جماعت 39–43 کی نچلی حد
جماعت:
39 – 43
ہے۔
لہٰذا:
Lower Limit = 39
(iii) جماعت 34–38 کی وسطی قدر
Midpoint = (34 + 38) / 2
= 36
لہٰذا وسطی قدر 36 ہے۔
(iv) جماعت 29–33 اور 44–48 کی تعدد
29–33 کی تعدد:
Frequency = 6
44–48 کی تعدد:
Frequency = 15
(v) جماعتی حجم
اس تعددی تقسیم کا جماعتی حجم:
Class Size = 5
ہے۔
(vi) سب سے کم طلبہ کس جماعت میں ہیں؟
سب سے کم طلبہ:
24–28
جماعت میں ہیں۔
(vii) تعدد 15 والی جماعت کی نچلی حد
تعدد 15 والی جماعت:
44–48
ہے۔
لہٰذا:
Lower Limit = 44
(viii) اسکور 24 سے 43 تک کتنے طلبہ ہیں؟
متعلقہ تعدد کو جمع کیا جاتا ہے:
3 + 6 + 12 + 23 = 44
لہٰذا:
Students = 44
مشق 12.1 — سوال نمبر 2
اس سوال میں اسکول کے عملے کی کرسیوں کی مرمت کے اخراجات دیے گئے ہیں۔
اعداد و شمار میں اقدار 144 سے 167 تک ہیں اور سوال میں 3 کو جماعتی حجم لیتے ہوئے ٹَیلی بار طریقے سے تعددی تقسیم تیار کرنے کو کہا گیا ہے۔
اس سوال میں:
Smallest Value = 144
Largest Value = 167
Class Size = 3
جماعتی وقفے
144–146
147–149
150–152
153–155
156–158
159–161
162–164
165–167
سوال کے مطابق آخری تین جماعتوں کی تعدد:
4، 1، 2
ہے۔
یہ سوال خاص طور پر Tally Marks اور Frequency Distribution سمجھنے کے لیے اہم ہے۔
مشق 12.1 — سوال نمبر 3
اس سوال میں ایک ہائی اسکول کے 30 طلبہ کے وزن کلوگرام میں دیے گئے ہیں۔
سوال میں 5 کو جماعتی حجم لیتے ہوئے تعددی جدول تیار کرنے اور پھر تعددی کثیرالاضلاع بنانے کو کہا گیا ہے۔
اعداد و شمار کی:
Smallest Value = 15 kg
Largest Value = 44 kg
جماعتی تقسیم
| جماعتی حدود | تعدد | وسطی قدر |
|---|---|---|
| 15–19 | 2 | 17 |
| 20–24 | 3 | 22 |
| 25–29 | 5 | 27 |
| 30–34 | 10 | 32 |
| 35–39 | 6 | 37 |
| 40–44 | 4 | 42 |
| کل | 30 |
تعددی کثیرالاضلاع
Frequency Polygon
تعددی کثیرالاضلاع بنانے کے لیے:
1۔ ہر جماعت کی وسطی قدر معلوم کریں۔
2۔ افقی محور پر وسطی قدریں رکھیں۔
3۔ عمودی محور پر تعدد رکھیں۔
4۔ متعلقہ نقاط بنائیں۔
5۔ تمام نقاط کو سیدھی لکیروں سے ملا دیں۔
اس سوال میں وسطی قدریں یہ ہیں:
17، 22، 27، 32، 37، 42
مشق 12.1 — سوال نمبر 4
اس سوال میں جماعت دہم کے طلبہ کے انگریزی ٹیسٹ کے نمبرز دیے گئے ہیں۔
سوال میں 6 کو جماعتی حجم لیتے ہوئے تعددی تقسیم تیار کرنے، سب سے کم تعدد والی جماعت معلوم کرنے اور مستطیلی تعدادی گراف بنانے کو کہا گیا ہے۔
اعداد و شمار کی:
Smallest Value = 33
Largest Value = 62
جماعتی وقفے
33–38
39–44
45–50
51–56
57–62
مستطیلی تعدادی گراف بنانے کے لیے جماعتی سرحدیں استعمال کی جاتی ہیں۔
مثلاً:
33–38 → 32.5–38.5
39–44 → 38.5–44.5
اسی طرح باقی جماعتوں کی سرحدیں بھی معلوم کی جاتی ہیں۔
سوال کے مطابق سب سے کم تعدد والی جماعت:
33–38
ہے۔
جماعتی سرحدیں
Class Boundaries
مستطیلی تعدادی گراف میں مسلسل مستطیل بنانے کے لیے جماعتی سرحدیں استعمال کی جاتی ہیں۔
مثلاً:
33–38
کی جماعتی سرحدیں:
32.5–38.5
ہوں گی۔
اسی طرح:
39–44 → 38.5–44.5
45–50 → 44.5–50.5
ہوں گی۔
یہ تصور مستطیلی تعدادی گراف کے سوالات میں بہت اہم ہے۔
مشق 12.1 — سوال نمبر 5
اس سوال میں مختلف وزنوں کی تعددی تقسیم دی گئی ہے اور اس ڈیٹا کا مستطیلی تعدادی گراف اور تعددی کثیرالاضلاع بنانے کو کہا گیا ہے۔
دی گئی جماعتیں
10–14
15–19
20–24
25–29
30–34
35–39
اس سوال میں جماعتی سرحدیں استعمال کی جاتی ہیں۔
مثلاً:
15–19 → 14.5–19.5
20–24 → 19.5–24.5
25–29 → 24.5–29.5
اور اسی طرح آگے۔
اس سوال کا بنیادی مقصد مستطیلی تعدادی گراف اور تعددی کثیرالاضلاع کو ایک ہی گرافی نمائندگی میں سمجھنا ہے۔
مشق 12.1 — سوال نمبر 6
اس سوال میں ایک سکے کو 5 مرتبہ اچھالنے کے تجربے کے 50 مجموعوں کے نتائج دیے گئے ہیں۔
ہر مجموعے میں حاصل ہونے والے Heads کی تعداد دی گئی ہے۔
طالب علم کو اس ڈیٹا کی مجرد تعددی تقسیم تیار کرنی ہے۔
ممکنہ Head کی تعداد
0، 1، 2، 3، 4، 5
تعددی جدول
| Heads کی تعداد | تعدد |
|---|---|
| 0 | 7 |
| 1 | 7 |
| 2 | 8 |
| 3 | 14 |
| 4 | 8 |
| 5 | 6 |
| کل | 50 |
یہ مجرد تعددی تقسیم کی ایک مثال ہے۔
مشق 12.1 — سوال نمبر 7
اس سوال میں جماعت دہم کے ریاضی کے ٹیسٹ کے نمبروں کو مختلف جماعتی وقفوں میں تقسیم کیا گیا ہے اور مستطیلی تعدادی گراف بنانے کو کہا گیا ہے۔
جماعتیں
35–37
38–44
45–54
55–61
62–67
68–72
اس سوال میں ایک اہم بات یہ ہے کہ تمام جماعتوں کی چوڑائی برابر نہیں ہے۔
اس لیے مستطیلی تعدادی گراف بناتے وقت صرف تعدد کو مستطیل کی اونچائی نہیں بنایا جاتا بلکہ جماعت کی چوڑائی کو بھی مدنظر رکھا جاتا ہے۔
اس سوال کے حل میں درج ذیل تصور استعمال کیا گیا ہے:
Height of Rectangle = Frequency / Width of Class
یہ تصور خاص طور پر غیر مساوی جماعتی وقفوں والے مستطیلی تعدادی گراف کے لیے بہت اہم ہے۔
مشق 12.1 کے اہم تصورات
اس مشق کی تیاری کے لیے طلبہ کو درج ذیل تصورات ضرور سمجھنے چاہئیں۔
⭐ 1۔ اعداد و شمار
Data
اعداد و شمار کے مجموعے کو ڈیٹا کہتے ہیں۔
⭐ 2۔ تعدد
Frequency
کسی قدر یا جماعت میں موجود مشاہدات کی تعداد کو تعدد کہتے ہیں۔
⭐ 3۔ جماعتی حدود
Class Limits
نچلی اور بالائی جماعتی حدود۔
⭐ 4۔ جماعتی حجم
Class Size
جماعتی وقفے کا مقررہ حجم۔
⭐ 5۔ وسطی قدر
Midpoint
فارمولا:
(Lower Limit + Upper Limit) / 2
⭐ 6۔ جماعتی سرحدیں
Class Boundaries
مستطیلی تعدادی گراف میں مسلسل جماعتی وقفے بنانے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔
⭐ 7۔ تعددی تقسیم
Frequency Distribution
اعداد و شمار کو مختلف جماعتوں اور ان کی تعدد کے ذریعے منظم کرنے کا طریقہ۔
⭐ 8۔ مجرد تعددی تقسیم
Discrete Frequency Distribution
مجرد اقدار کی تعددی جدول۔
⭐ 9۔ تعددی کثیرالاضلاع
Frequency Polygon
وسطی قدروں اور تعدد کی مدد سے بنایا جانے والا گراف۔
⭐ 10۔ مستطیلی تعدادی گراف
Histogram
تعددی تقسیم کو آپس میں جڑے ہوئے مستطیلوں کے ذریعے ظاہر کرنے والا گراف۔
اہم سوالات — امتحان کے لیے
مشق 12.1 کی تیاری کرتے وقت درج ذیل سوالات پر خصوصی توجہ دیں:
1۔ جماعتی حد کیا ہوتی ہے؟
2۔ نچلی اور بالائی جماعتی حد میں کیا فرق ہے؟
3۔ جماعتی حجم کیسے معلوم کیا جاتا ہے؟
4۔ وسطی قدر کا فارمولا لکھیں۔
5۔ کسی جماعتی وقفے کی وسطی قدر معلوم کریں۔
6۔ دیے گئے ڈیٹا سے تعددی تقسیم تیار کریں۔
7۔ ٹَیلی مارکس استعمال کرتے ہوئے تعددی جدول بنائیں۔
8۔ تعددی کثیرالاضلاع بنائیں۔
9۔ جماعتی سرحدیں معلوم کریں۔
10۔ مستطیلی تعدادی گراف بنائیں۔
11۔ مجرد تعددی تقسیم تیار کریں۔
12۔ غیر مساوی جماعتی وقفوں والے ڈیٹا کا مستطیلی تعدادی گراف بنائیں۔
13۔ کم ترین تعدد والی جماعت معلوم کریں۔
14۔ دی گئی تعددی تقسیم سے مختلف جماعتوں کی تعدد معلوم کریں۔
15۔ دیے گئے ڈیٹا میں کسی مخصوص حد کے اندر موجود مشاہدات کی تعداد معلوم کریں۔
طلبہ کے لیے مفید معلومات
📌 مشورہ نمبر 1
تعددی جدول بناتے وقت سب سے پہلے ڈیٹا کی سب سے چھوٹی اور سب سے بڑی قدر دیکھیں۔
📌 مشورہ نمبر 2
اگر سوال میں جماعتی حجم دیا گیا ہو تو اسی کے مطابق جماعتی وقفے بنائیں۔
📌 مشورہ نمبر 3
وسطی قدر معلوم کرنے کے لیے ہمیشہ یہ فارمولا استعمال کریں:
(Lower Limit + Upper Limit) ÷ 2
📌 مشورہ نمبر 4
مستطیلی تعدادی گراف میں جماعتی سرحدوں کو سمجھنا بہت ضروری ہے۔
📌 مشورہ نمبر 5
تعددی کثیرالاضلاع بنانے کے لیے جماعتوں کی وسطی قدریں استعمال کی جاتی ہیں۔
📌 مشورہ نمبر 6
ٹَیلی مارکس بناتے وقت ہر مشاہدے کو صرف ایک مرتبہ شمار کریں۔
📌 مشورہ نمبر 7
تعددی جدول کے آخر میں کل تعدد ضرور چیک کریں۔
مثلاً سوال نمبر 3 میں:
Σf = 30
اور سوال نمبر 6 میں:
Σf = 50
ہے۔
مختصر خلاصہ
نویں جماعت ریاضی کی مشق 12.1 میں اعداد و شمار کو منظم کرنے اور انہیں گرافی صورت میں پیش کرنے کے اہم طریقے سکھائے گئے ہیں۔
اس مشق میں جماعتی حدود، جماعتی حجم، تعددی تقسیم، ٹَیلی مارکس، وسطی قدر، جماعتی سرحدیں، تعددی کثیرالاضلاع، مجرد تعددی تقسیم اور مستطیلی تعدادی گراف جیسے اہم موضوعات شامل ہیں۔
طلبہ اگر ان بنیادی تصورات اور فارمولوں کو اچھی طرح سمجھ لیں تو مشق 12.1 کے سوالات کو زیادہ آسانی سے حل کر سکتے ہیں۔