9class.online

Click Here To Download Ex : 2.1 Ex : 2.2 Ex : 2.3 Imp. MCQs and Shorts Review Exercise

Click Here To Download Ex : 2.1 Ex : 2.2 Ex : 2.4 Imp. MCQs and Shorts Review Exercise

Click Here To Download Ex : 2.1 Ex : 2.3 Ex : 2.4 Imp. MCQs Review Exercise

Click Here To Download Ex : 2.2 Ex : 2.3 Ex : 2.4 Imp. MCQs Review Exercise

Click Here To Download Ex : 1.1 Ex : 1.2 Ex : 1.3 MCQs & Shorts Review Exercise – -مکمل وضاحتی گائیڈ سوال 1: متعدد انتخابی سوالات (i) √7 ہے: جواب: (c) غیر ناطق عدد وضاحت:√7 = 2.64575131… (نہ ختم ہونے والا، نہ دہرایا جانے والا اعشاریہ)7 مکمل مربع نہیں ہے (1²=1، 2²=4، 3²=9)جو اعداد مکمل مربع نہیں، ان کے جذر غیر ناطق ہوتے ہیں۔ (ii) π اور e ہیں: جواب: (d) غیر ناطق اعداد وضاحت:π = 3.1415926535… (کبھی ختم نہیں ہوتا، کبھی دہرایا نہیں جاتا)e = 2.718281828… (کبھی ختم نہیں ہوتا، کبھی دہرایا نہیں جاتا)دونوں مشہور غیر ناطق اعداد ہیں۔ (iii) اگر n مکمل مربع نہیں ہے، تو √n ہے: جواب: (d) غیر ناطق عدد وضاحت:مکمل مربع اعداد: 1، 4، 9، 16، 25، 36…اگر n اس فہرست میں نہیں ہے تو √n غیر ناطق ہے۔مثال: √2، √3، √5، √6، √7، √8، √10… (iv) √3 + √5 ہے: جواب: (d) غیر ناطق عدد وضاحت:√3 غیر ناطق ہے، √5 غیر ناطق ہےدو غیر ناطق اعداد کا مجموعہ غیر ناطق ہوتا ہے۔√3 + √5 = 1.732… + 2.236… = 3.968… (غیر ناطق) (v) تمام x ∈ R کے لیے، x = x کہلاتا ہے: جواب: (a) انعکاسی خاصیت وضاحت:انعکاسی خاصیت: a = a (ہر عدد اپنے آپ کے برابر ہے)یہ مساوات کی سب سے بنیادی خاصیت ہے۔ (vi) فرض کریں a, b, c ∈ R، پھر a > b اور b > c ⇒ a > c کہلاتا ہے: جواب: (b) متعدی خاصیت وضاحت:متعدی خاصیت: اگر a > b اور b > c، تو a > cیہ خاصیت عدم مساوات پر لاگو ہوتی ہے۔ (vii) 2ˣ × 8ˣ = 64 تو x = حل: 2ˣ × 8ˣ = 642ˣ × (2³)ˣ = 2⁶2ˣ × 2³ˣ = 2⁶2⁴ˣ = 2⁶4x = 6x = 6/4x = 3/2 جواب: (a) 3/2 (viii) فرض کریں a, b ∈ R، پھر a = b اور b = a کہلاتا ہے: جواب: (b) متناظر خاصیت وضاحت:متناظر خاصیت: اگر a = b، تو b = aمساوات دونوں طرف کام کرتی ہے۔ (ix) √75 + √27 = حل: √75 = √(25 × 3) = 5√3√27 = √(9 × 3) = 3√3 √75 + √27 = 5√3 + 3√3 = 8√3 جواب: (d) 8√3 (x) (3+√5)(3-√5) کی حاصل ضرب ہے: حل: (3+√5)(3-√5) = 3² – (√5)²= 9 – 5= 4 4 ایک صحیح عدد ہے جو ناطق عدد ہے۔ جواب: (d) ناطق عدد سوال 2: تقسیمی خاصیت کی تصدیق کریں دیا گیا: a = 3/2، b = 5/3، c = 7/5 (i) a(b + c) = ab + ac LHS: b + c = 5/3 + 7/5= (25 + 21)/15= 46/15 a(b + c) = 3/2 × 46/15= (3 × 46)/(2 × 15)= 138/30= 23/5 RHS: ab = 3/2 × 5/3 = 15/6 = 5/2ac = 3/2 × 7/5 = 21/10 ab + ac = 5/2 + 21/10= 25/10 + 21/10= 46/10= 23/5 ✅ تصدیق شدہ: LHS = RHS = 23/5 (ii) (a + b)c = ac + bc LHS: a + b = 3/2 + 5/3= (9 + 10)/6= 19/6 (a + b)c = 19/6 × 7/5= (19 × 7)/(6 × 5)= 133/30 RHS: ac = 3/2 × 7/5 = 21/10 = 63/30bc = 5/3 × 7/5 = 35/15 = 7/3 = 70/30 ac + bc = 63/30 + 70/30= 133/30 ✅ تصدیق شدہ: LHS = RHS = 133/30 سوال 3: ساتھی خاصیت کی تصدیق کریں دیا گیا: a = 4/3، b = 5/2، c = 7/4 جمع کی ساتھی خاصیت: (a + b) + c = a + (b + c) LHS: a + b = 4/3 + 5/2= (8 + 15)/6= 23/6 (a + b) + c = 23/6 + 7/4= (46 + 21)/12= 67/12 RHS: b + c = 5/2 + 7/4= (10 + 7)/4= 17/4 a + (b + c) = 4/3 + 17/4= (16 + 51)/12= 67/12 ✅ تصدیق شدہ: (a + b) + c = a + (b + c) = 67/12 ضرب کی ساتھی خاصیت: (a × b) × c = a × (b × c) LHS: a × b = 4/3 × 5/2 = 20/6 = 10/3 (a × b) × c = 10/3 × 7/4= 70/12= 35/6 RHS: b × c = 5/2 × 7/4 = 35/8 a × (b × c) = 4/3 × 35/8= 140/24= 35/6 ✅ تصدیق شدہ: (a × b) × c = a × (b × c) = 35/6 سوال 4: کیا 0 ایک ناطق عدد ہے؟ جواب: جی ہاں، 0 ایک ناطق عدد ہے۔ وضاحت:ناطق عدد وہ عدد ہے جسے p/q کی شکل میں ظاہر کیا جا سکے جہاں q ≠ 0 ہو۔ 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 = … یہاں p = 0، q = 1 (q ≠ 0)لہٰذا، 0 ایک ناطق عدد ہے۔ سوال 5: تثلیثی خاصیت بیان کریں جواب: تثلیثی خاصیت کے مطابق، دو حقیقی اعداد a اور b کے لیے، درج ذیل میں سے صرف ایک درست ہے: a > b (a، b سے بڑا ہے) a = b (a، b کے برابر ہے) a < b (a، b سے چھوٹا ہے) وضاحت: چوتھا کوئی امکان نہیں ہے۔ ایک وقت میں صرف ایک درست ہو سکتا ہے۔ مثال: 3 اور 5 کے لیے، صرف 3 < 5 درست ہے۔ سوال 6: 4 اور 5 کے درمیان دو ناطق اعداد معلوم کریں طریقہ 1: کسر استعمال کرتے ہوئے 4 = 4/1 = 8/2 = 12/3 = 16/4 = 20/55 = 5/1 = 10/2 = 15/3 = 20/4 = 25/5 4 اور 5 کے درمیان: 9/2 = 4.5 14/3 ≈ 4.67 ✅ جواب: 9/2 اور 14/3 (یا 4.5 اور 4.67) طریقہ 2: اعشاریہ استعمال کرتے ہوئے 4.1 = 41/10 4.5 = 9/2 4.7 = 47/10 ✅ جواب: 4.1 اور 4.5 سوال 7: درج ذیل کو سادہ کریں (i) √(x¹⁵ y³⁵ / z³⁰) حل: = √(x¹⁵) × √(y³⁵) / √(z³⁰)= x¹⁵/² × y³⁵/² / z¹⁵= x⁷·⁵ × y¹⁷·⁵ / z¹⁵= x⁷ × √x × y¹⁷ × √y / z¹⁵= x⁷ y¹⁷ √(xy) / z¹⁵ ✅ جواب: x⁷ y¹⁷ √(xy) / z¹⁵ (ii) ³√(27)²ˣ حل: = ³√(3³)²ˣ= ³√(3⁶ˣ)= (3⁶ˣ)¹/³= 3²ˣ ✅ جواب: 3²ˣ (iii) 6(3)ˣ⁺² / (3ˣ⁺¹ – 3ˣ) حل: = 6(3)ˣ⁺² / [3ˣ(3¹ – 1)]= 6(3)ˣ⁺² / [3ˣ(3 – 1)]= 6(3)ˣ⁺² / [3ˣ(2)]= 6(3)ˣ⁺² / (2 × 3ˣ)= 3(3)ˣ⁺² / 3ˣ= 3 × 3²= 3 × 9= 27 ✅ جواب: 27 سوال 8: تین متواتر طاق اعداد کا

Click Here To Download Ex : 1.1 Ex : 1.2 Ex : 1.3 Review Exercise

Click Here To Download Ex : 1.1 Ex : 1.2 MCQs & Shorts Review Exercise Exercise 1.3 – -مکمل وضاحتی گائیڈ سوال 1: تین متواتر اعداد کا مجموعہ دیا گیا: تین متواتر اعداد کا مجموعہ 42 ہے تصور: متواتر اعداد سے مراد وہ اعداد ہیں جو ایک کے بعد ایک آتے ہیں (مثال: 1،2،3 یا 5،6،7) حل کے مراحل: تین متواتر اعداد کو فرض کریں: پہلا عدد = x دوسرا عدد = x + 1 تیسرا عدد = x + 2 مساوات: x + (x + 1) + (x + 2) = 423x + 3 = 423x = 39x = 13 لہٰذا: پہلا عدد = 13 دوسرا عدد = 14 تیسرا عدد = 15 ✅ جواب: 13، 14، 15 تصدیق: 13 + 14 + 15 = 42 ✅ سوال 2: مثلث میں لمبائی AB معلوم کریں دیا گیا: قائم الزاویہ مثلث ABC AC = (√3 + √5) سینٹی میٹر رقبہ = (1 + √15) سینٹی میٹر² تصور: قائم الزاویہ مثلث کا رقبہ = ½ × قاعدہ × ارتفاع حل کے مراحل: قائم الزاویہ مثلث ABC میں جس کا زاویہ قائمہ B پر ہے: قاعدہ = AB (جو ہمیں معلوم کرنا ہے) ارتفاع = BC (دیا نہیں گیا) وتر = AC = (√3 + √5) مرحلہ 1: رقبے کا فارمولا رقبہ = ½ × AB × BC(1 + √15) = ½ × AB × BCAB × BC = 2(1 + √15)AB × BC = 2 + 2√15 مرحلہ 2: فیثا غورث کا قاعدہ استعمال کریں AC² = AB² + BC²(√3 + √5)² = AB² + BC²3 + 2√15 + 5 = AB² + BC²8 + 2√15 = AB² + BC² مرحلہ 3: ہم جانتے ہیں کہ (AB + BC)² = AB² + BC² + 2AB×BC (AB + BC)² = (8 + 2√15) + 2(2 + 2√15)(AB + BC)² = 8 + 2√15 + 4 + 4√15(AB + BC)² = 12 + 6√15 مرحلہ 4: اس کے علاوہ (AB – BC)² = AB² + BC² – 2AB×BC (AB – BC)² = (8 + 2√15) – 2(2 + 2√15)(AB – BC)² = 8 + 2√15 – 4 – 4√15(AB – BC)² = 4 – 2√15 مرحلہ 5: √(4 – 2√15) کو (√5 – √3) لکھا جا سکتا ہے AB – BC = √5 – √3 (مثبت قیمت) مرحلہ 6: AB اور BC کے لیے حل کریں AB = √3 + √5BC = √5 – √3 تصدیق: AB × BC = (√3 + √5)(√5 – √3) = 5 – 3 = 2 ✓ ✅ جواب: AB = √3 + √5 سینٹی میٹر سوال 3: مستطیل کا رقبہ دیا گیا: لمبائی = 2 + √18 میٹر چوڑائی = 5 – 4/√2 میٹر تصور: رقبہ = لمبائی × چوڑائی حل کے مراحل: مرحلہ 1: دونوں اصطلاحات کو سادہ کریں √18 = √(9 × 2) = 3√2لہٰذا لمبائی = 2 + 3√2 4/√2 = 4/√2 × √2/√2 = 4√2/2 = 2√2لہٰذا چوڑائی = 5 – 2√2 مرحلہ 2: رقبہ = (2 + 3√2)(5 – 2√2) = 2(5 – 2√2) + 3√2(5 – 2√2)= 10 – 4√2 + 15√2 – 6(2)= 10 – 4√2 + 15√2 – 12= (10 – 12) + (-4√2 + 15√2)= -2 + 11√2 ✅ جواب: -2 + 11√2 (رقبہ میٹر² میں) سوال 4: دو اعداد جن کا مجموعہ 68 اور فرق 22 ہے دیا گیا: مجموعہ = 68 فرق = 22 تصور: اعداد کو x اور y فرض کریں حل کے مراحل: بڑا عدد x اور چھوٹا عدد y فرض کریں x + y = 68 … (1)x – y = 22 … (2) مرحلہ 1: مساوات (1) اور (2) کو جمع کریں (x + y) + (x – y) = 68 + 222x = 90x = 45 مرحلہ 2: x کی قیمت مساوات (1) میں ڈالیں 45 + y = 68y = 23 ✅ جواب: 45 اور 23 تصدیق: مجموعہ: 45 + 23 = 68 ✅ فرق: 45 – 23 = 22 ✅ سوال 5: سیلسیس سے فارن ہائیٹ میں تبدیلی دیا گیا: درجہ حرارت = 48°C فارمولا: °F = (9/5)°C + 32 حل: °F = (9/5) × 48 + 32°F = 9 × 9.6 + 32°F = 86.4 + 32°F = 118.4 ✅ جواب: 118.4°F سوال 6: باپ اور بیٹے کی عمریں دیا گیا: موجودہ عمروں کا مجموعہ = 72 سال چھ سال پہلے، باپ کی عمر بیٹے کی عمر سے 2 گنا تھی تصور: موجودہ عمروں کو متغیر فرض کریں حل کے مراحل: باپ کی موجودہ عمر = xبیٹے کی موجودہ عمر = y x + y = 72 … (1) چھ سال پہلے:باپ کی عمر = x – 6بیٹے کی عمر = y – 6 دیا گیا: (x – 6) = 2(y – 6) x – 6 = 2y – 12x = 2y – 6 … (2) مرحلہ 1: x کی قیمت (2) سے (1) میں ڈالیں (2y – 6) + y = 723y – 6 = 723y = 78y = 26 مرحلہ 2: چھ سال پہلے بیٹے کی عمر بیٹے کی عمر چھ سال پہلے = y – 6= 26 – 6= 20 ✅ جواب: 20 سال سوال 7: 15% منافع کے لیے فروخت کی قیمت دیا گیا: موجودہ فروخت قیمت = روپے 1520 (یہ قیمت خرید ہے) نوٹ: سوال کہتا ہے “مرحہ ایک کھلونا روپے 1520 میں فروخت کرتی ہے” اور پوچھتا ہے “15% منافع حاصل کرنے کے لیے فروخت کی قیمت کیا ہوگی؟” اس کا مطلب ہے کہ روپے 1520 قیمت خرید ہے۔ تصور: منافع% = (منافع/قیمت خرید) × 100 حل کے مراحل: قیمت خرید (CP) = روپے 1520منافع = 15%فروخت قیمت (SP) = CP × (100 + منافع%) / 100SP = 1520 × (100 + 15) / 100SP = 1520 × 115 / 100SP = 1520 × 1.15SP = 1748 ✅ جواب: روپے 1748 سوال 8: ٹیکس کا حساب دیا گیا: سالانہ آمدنی = روپے 9,60,000 مستثنیٰ رقم = روپے 1,30,000 ٹیکس کی شرح = 0.75% تصور: ٹیکس کا حساب قابل ٹیکس آمدنی پر لگایا جاتا ہے (آمدنی – استثنیٰ) حل کے مراحل: مرحلہ 1: قابل ٹیکس آمدنی معلوم کریں قابل ٹیکس آمدنی = کل آمدنی – مستثنیٰ رقم= 9,60,000 – 1,30,000= 8,30,000 مرحلہ 2: ٹیکس کا حساب لگائیں ٹیکس = قابل ٹیکس آمدنی × ٹیکس کی شرح= 8,30,000 × 0.75/100= 8,30,000 × 0.0075= 6,225 ✅ جواب: روپے 6,225 سوال 9: مرکب مارک اپ دیا گیا: اصل رقم = روپے 3,75,000 مدت = 1 سال شرح = 14% سالانہ مرکب

Click Here To Download Ex : 1.1 Ex : 1.3 MCQs & Shorts Review Exercise Exercise 1.2 – -مکمل وضاحتی گائیڈ سوال 1: نسب کو ناطق بنانا (Rationalize the Denominator) تصور کی وضاحت: نسب کو ناطق بنانے کا مطلب ہے کہ نسب (denominator) سے جذر (√) کو ہٹانا ہے۔ اس کے لیے ہم مزوج (conjugate) استعمال کرتے ہیں۔ مزوج کا اصول: (a + b)(a – b) = a² – b² اگر نسب (a + √b) ہے تو مزوج (a – √b) سے ضرب دیں اگر نسب (a – √b) ہے تو مزوج (a + √b) سے ضرب دیں (i) 13 / (4 + √3) مرحلہ 1: نسب میں (4 + √3) ہےمرحلہ 2: مزوج (4 – √3) سے ضرب دیں = 13/(4+√3) × (4-√3)/(4-√3)= 13(4-√3) / (4+√3)(4-√3)= 13(4-√3) / (16 – 3)= 13(4-√3) / 13= 4 – √3 ✅ جواب: 4 – √3 (ii) (√2 + √5) / √3 مرحلہ 1: نسب میں √3 ہےمرحلہ 2: √3 سے ضرب دیں (صورت اور نسب دونوں کو) = (√2 + √5)/√3 × √3/√3= √3(√2 + √5) / 3= (√6 + √15) / 3 ✅ جواب: (√6 + √15) / 3 (iii) (√2 – 1) / √5 مرحلہ 1: نسب میں √5 ہےمرحلہ 2: √5 سے ضرب دیں = (√2 – 1)/√5 × √5/√5= √5(√2 – 1) / 5= (√10 – √5) / 5 ✅ جواب: (√10 – √5) / 5 (iv) (6 – 4√2) / (6 + 4√2) مرحلہ 1: نسب میں (6 + 4√2) ہےمرحلہ 2: مزوج (6 – 4√2) سے ضرب دیں = (6-4√2)/(6+4√2) × (6-4√2)/(6-4√2)= (6-4√2)² / (6+4√2)(6-4√2)= (36 – 48√2 + 32) / (36 – 32)= (68 – 48√2) / 4= 17 – 12√2 ✅ جواب: 17 – 12√2 (v) (√3 – √2) / (√3 + √2) مرحلہ 1: نسب میں (√3 + √2) ہےمرحلہ 2: مزوج (√3 – √2) سے ضرب دیں = (√3-√2)/(√3+√2) × (√3-√2)/(√3-√2)= (√3-√2)² / (√3+√2)(√3-√2)= (3 – 2√6 + 2) / (3 – 2)= (5 – 2√6) / 1= 5 – 2√6 ✅ جواب: 5 – 2√6 (vi) 4√3 / (√7 + √5) مرحلہ 1: نسب میں (√7 + √5) ہےمرحلہ 2: مزوج (√7 – √5) سے ضرب دیں = 4√3/(√7+√5) × (√7-√5)/(√7-√5)= 4√3(√7-√5) / (√7+√5)(√7-√5)= 4√3(√7-√5) / (7 – 5)= 4√3(√7-√5) / 2= 2√3(√7-√5)= 2√21 – 2√15 ✅ جواب: 2√21 – 2√15 سوال 2: درج ذیل کو سادہ کریں تصور کی وضاحت: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ a⁰ = 1 (i) (81/16)⁻³/⁴ = (16/81)³/⁴= (2⁴ / 3⁴)³/⁴= (2/3)⁴ × ³/⁴= (2/3)³= 8/27 ✅ جواب: 8/27 (ii) (3/4)⁻² ÷ (4/9)³ × 16/27 مرحلہ 1: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9مرحلہ 2: (4/9)³ = 64/729مرحلہ 3: 16/9 ÷ 64/729 × 16/27 = 16/9 × 729/64 × 16/27= (16 × 729 × 16) / (9 × 64 × 27)= 256/64= 4 ✅ جواب: 4 (iii) (0.027)⁻¹/³ 0.027 = 27/1000 = 3³/10³ = (3/10)³ (0.027)⁻¹/³ = (3/10)³ × ⁻¹/³= (3/10)⁻¹= 10/3 ✅ جواب: 10/3 (iv) √(x³⁴y²¹z³⁵ / y³⁴z⁷) = √(x³⁴ × y²¹⁻³⁴ × z³⁵⁻⁷)= √(x³⁴ × y⁻¹³ × z²⁸)= (x³⁴ × y⁻¹³ × z²⁸)¹/²= x¹⁷ × y⁻¹³/² × z¹⁴= x¹⁷ z¹⁴ / y¹³/² ✅ جواب: x¹⁷ z¹⁴ / y¹³/² (v) [5(25)ⁿ⁺¹ – 25(5)²ⁿ] / [5(5)²ⁿ⁺² – (25)ⁿ⁺¹] مرحلہ 1: 25 = 5² = [5(5²)ⁿ⁺¹ – 25(5)²ⁿ] / [5(5)²ⁿ⁺² – (5²)ⁿ⁺¹]= [5(5)²ⁿ⁺² – 5²(5)²ⁿ] / [5(5)²ⁿ⁺² – (5)²ⁿ⁺²] مرحلہ 2: فرض کریں 5²ⁿ = a = [125a – 25a] / [125a – 25a]= 100a / 100a= 1 ✅ جواب: 1 (vi) [(16)ⁿ⁺¹ + 20(4²ⁿ)] / [2⁵ × 8ⁿ⁺²] مرحلہ 1: 16 = 2⁴، 4 = 2²، 8 = 2³ = [(2⁴)ⁿ⁺¹ + 20(2²)²ⁿ] / [2⁵ × (2³)ⁿ⁺²]= [2⁴ⁿ⁺⁴ + 20(2⁴ⁿ)] / [2⁵ × 2³ⁿ⁺⁶]= [2⁴ⁿ(2⁴ + 20)] / [2³ⁿ⁺¹¹]= [2⁴ⁿ(16 + 20)] / [2³ⁿ⁺¹¹]= [2⁴ⁿ(36)] / [2³ⁿ⁺¹¹]= 36 × 2⁴ⁿ⁻³ⁿ⁻¹¹= 36 × 2ⁿ⁻¹¹ ✅ جواب: 36 × 2ⁿ⁻¹¹ (vii) (64)²/³ ÷ (9)³/² (64)²/³ = (4³)²/³ = 4² = 16(9)³/² = (3²)³/² = 3³ = 27 16 ÷ 27 = 16/27 ✅ جواب: 16/27 (viii) (3ⁿ × 9ⁿ⁺¹) / (3ⁿ⁻¹ × 9ⁿ⁻¹) = [3ⁿ × (3²)ⁿ⁺¹] / [3ⁿ⁻¹ × (3²)ⁿ⁻¹]= [3ⁿ × 3²ⁿ⁺²] / [3ⁿ⁻¹ × 3²ⁿ⁻²]= 3³ⁿ⁺² / 3³ⁿ⁻³= 3⁵= 243 ✅ جواب: 243 (ix) (5ⁿ⁺³ – 6.5ⁿ⁺¹) / (9 × 5ⁿ – 2³ × 5ⁿ) = [5ⁿ⁺¹(5² – 6)] / [5ⁿ(9 – 8)]= [5ⁿ⁺¹(25 – 6)] / [5ⁿ(1)]= [5ⁿ⁺¹(19)] / 5ⁿ= 5 × 19= 95 ✅ جواب: 95 سوال 3: اگر x = 3 + √8 تصور کی وضاحت: x + 1/x کا فارمولا استعمال کریں(a + b)² = a² + 2ab + b²(a – b)² = a² – 2ab + b² دیا گیا: x = 3 + √8 = 3 + 2√2 1/x معلوم کریں: مزوج استعمال کریں 1/x = 1/(3+2√2)= (3-2√2)/(9-8)= 3 – 2√2 (i) x + 1/x = (3+2√2) + (3-2√2)= 6 ✅ جواب: 6 (ii) x – 1/x = (3+2√2) – (3-2√2)= 4√2 ✅ جواب: 4√2 (iii) x² + 1/x² فارمولا: x² + 1/x² = (x + 1/x)² – 2 = (6)² – 2= 36 – 2= 34 ✅ جواب: 34 (iv) x² – 1/x² فارمولا: x² – 1/x² = (x – 1/x)(x + 1/x) = (4√2)(6)= 24√2 ✅ جواب: 24√2 (v) x⁴ + 1/x⁴ فارمولا: x⁴ + 1/x⁴ = (x² + 1/x²)² – 2 = (34)² – 2= 1156 – 2= 1154 ✅ جواب: 1154 (vi) (x – 1/x)² = (4√2)²= 32 ✅ جواب: 32 سوال 4: p اور q معلوم کریں دیا گیا: (8 – 3√2) / (4 + 3√2) = p + q√2 مرحلہ 1: نسب کو ناطق بنائیں = (8-3√2)/(4+3√2) × (4-3√2)/(4-3√2)= (8-3√2)(4-3√2) / (16 – 18)= (32 – 24√2 – 12√2 + 18) / (-2)= (50 – 36√2) / (-2)= -25 + 18√2 مرحلہ 2: p + q√2 سے موازنہ کریں p = -25q = 18 ✅ جواب: p = -25، q = 18 سوال 5: درج ذیل کو سادہ کریں (i) [(25)³/² × (243)³/⁵] / [(16)¹/⁴ × (8)¹/³] 25 = 5² → (25)³/² = (5²)³/² = 5³ = 125243 = 3⁵ → (243)³/⁵ = (3⁵)³/⁵ = 3³ = 2716 = 2⁴ → (16)¹/⁴ = (2⁴)¹/⁴ = 28 = 2³ → (8)¹/³ = (2³)¹/³ = 2 = (125 × 27) / (2 × 2)= 3375 / 4 ✅ جواب: 3375/4 (ii) 54 × √(27)²ˣ / [9ⁿ⁺¹ + 216(3²ˣ⁻¹)] مرحلہ 1: √(27)²ˣ = √(3³)²ˣ = √3⁶ˣ = 3³ˣمرحلہ 2: 54 = 2 × 27 = 2 × 3³ = 54 × 3³ˣ / [9ⁿ⁺¹ + 216(3²ˣ⁻¹)]= (2 × 3³) × 3³ˣ / [3²ⁿ⁺² + 6³ × 3²ˣ⁻¹]= 2 × 3³ˣ⁺³ / [3²ⁿ⁺² + 216 × 3²ˣ⁻¹] نوٹ: اس کا مزید سادہ کرنا ممکن نہیں کیونکہ x اور n الگ متغیر ہیں۔ (iii) √[(216)²/³ × (25)⁻¹/² / (0.04)⁻³/²] 216 = 6³ → (216)²/³ = (6³)²/³

Click Here To Download Ex : 1.2 Ex : 1.3 Imp. MCQs and Shorts Review Exercise Exercise 1.1 -مکمل وضاحتی گائیڈ سوال 1: ناطق یا غیر ناطق اعداد کی پہچان تصور کی وضاحت: ناطق اعداد (Rational Numbers): وہ اعداد جو p/q کی شکل میں لکھے جا سکیں جہاں q ≠ 0 ہو۔ ختم ہونے والے اعشاریہ (مثال: 0.5، 2.75) بار بار آنے والے اعشاریہ (مثال: 0.333…، 1.252525…) تمام صحیح اعداد اور کسر غیر ناطق اعداد (Irrational Numbers): وہ اعداد جو p/q کی شکل میں نہیں لکھے جا سکتے۔ نہ ختم ہونے والے، نہ دہرائے جانے والے اعشاریہ غیر مکمل مربع اعداد کے جذر π (پائی)، e (یولر نمبر) (i) 2.353535 قسم: ✅ ناطق عدد وضاحت:یہ عدد بار بار آنے والا اعشاریہ ہے (353535 دہرایا جا رہا ہے)۔ جو بھی عدد دہرایا جائے وہ ناطق ہوتا ہے۔ اسے p/q کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ اس کی ناطق شکل: 233/99 (تقریباً) (ii) 0.6 قسم: ✅ ناطق عدد وضاحت:یہ ختم ہونے والا اعشاریہ ہے۔ 0.6 = 6/10 = 3/5۔ جو بھی اعشاریہ ختم ہو جائے وہ ناطق ہوتا ہے اور اسے p/q کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ (iii) 2.236067… قسم: ❌ غیر ناطق عدد وضاحت:یہ نہ ختم ہونے والا، نہ دہرایا جانے والا اعشاریہ ہے۔ تین نقطے (…) ظاہر کر رہے ہیں کہ یہ عدد کبھی ختم نہیں ہوتا۔ یہ دراصل √5 ہے۔ √5 غیر ناطق ہے کیونکہ 5 مکمل مربع نہیں ہے۔ اسے p/q کی شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔ (iv) √7 قسم: ❌ غیر ناطق عدد وضاحت:√7 کا مطلب ہے “7 کا جذر”۔ 7 مکمل مربع نہیں ہے (1²=1، 2²=4، 3²=9)۔ جو عدد مکمل مربع نہیں، اس کا جذر غیر ناطق ہوتا ہے۔ اس کی اعشاریہ قیمت: 2.64575131… (کبھی ختم نہیں ہوتی) (v) e قسم: ❌ غیر ناطق عدد وضاحت:e (یولر نمبر) ≈ 2.718281828… یہ ایک مشہور غیر ناطق عدد ہے۔ یہ نہ ختم ہونے والا اور نہ دہرایا جانے والا اعشاریہ ہے۔ ریاضی میں قدرتی لاگرتھم (Natural Logarithms) میں استعمال ہوتا ہے۔ (vi) π (پائی) قسم: ❌ غیر ناطق عدد وضاحت:π (پائی) ≈ 3.1415926535… یہ سب سے مشہور غیر ناطق عدد ہے۔ یہ دائرے کے محیط اور قطر کا تناسب ہے۔ اس کی اعشاریہ قیمت کبھی ختم نہیں ہوتی اور کوئی خاص ترتیب دہرائی نہیں جاتی۔ (vii) 5 + √1 قسم: ✅ ناطق عدد وضاحت:√1 = 1 (کیونکہ 1 × 1 = 1)۔ 5 + 1 = 6۔ 6 ایک صحیح عدد ہے اور تمام صحیح اعداد ناطق ہوتے ہیں۔ اسے 6/1 لکھا جا سکتا ہے۔ (viii) √3 + √13 قسم: ❌ غیر ناطق عدد وضاحت:√3 غیر ناطق ہے (3 مکمل مربع نہیں) اور √13 غیر ناطق ہے (13 مکمل مربع نہیں)۔ دو غیر ناطق اعداد کا مجموعہ بھی غیر ناطق ہوتا ہے۔ اسے p/q کی شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔ (ix) (2 – √2)(2 + √2) قسم: ✅ ناطق عدد وضاحت:یہ (a – b)(a + b) = a² – b² کا فارمولا استعمال کر رہا ہے۔(2 – √2)(2 + √2) = 2² – (√2)² = 4 – 2 = 22 ایک صحیح عدد ہے جو ناطق ہے۔ اسے 2/1 لکھا جا سکتا ہے۔ (x) 15/4 قسم: ✅ ناطق عدد وضاحت:یہ پہلے سے p/q کی شکل میں ہے۔ p = 15، q = 4 (q ≠ 0)۔ اس لیے یہ ناطق عدد ہے۔ سوال 2: اعداد کو خط اعداد پر ظاہر کرنا تصور کی وضاحت:خط اعداد ایک سیدھی لکیر ہوتی ہے جس پر اعداد کو دکھایا جاتا ہے۔ صفر مرکز میں ہوتا ہے، دائیں جانب مثبت اعداد، بائیں جانب منفی اعداد۔ (i) √2 (جذر 2) طریقہ کار: ایک خط اعداد بنائیں اور 0 اور 1 نشان زد کریں۔ نقطہ 1 سے عمودی (کھڑی) لکیر 1 اکائی اوپر کھینچیں۔ 0 سے عمودی لکیر کے آخر تک لکیر کھینچیں (یہ √2 ہے)۔ پرکار (Compass) سے 0 سے √2 تک کا فاصلہ ناپیں۔ خط اعداد پر 0 سے دائیں جانب یہ فاصلہ نشان زد کریں۔ وضاحت:√2 ≈ 1.414 (1 اور 2 کے درمیان)۔ پائتھاگورس کا قاعدہ استعمال ہوتا ہے (1² + 1² = 2)۔ (ii) √3 (جذر 3) طریقہ کار: پہلے √2 کو اوپر والے طریقے سے معلوم کریں۔ نقطہ √2 سے عمودی لکیر 1 اکائی اوپر کھینچیں۔ 0 سے عمودی لکیر کے آخر تک لکیر کھینچیں (یہ √3 ہے)۔ پرکار سے 0 سے √3 تک کا فاصلہ ناپیں۔ خط اعداد پر 0 سے دائیں جانب یہ فاصلہ نشان زد کریں۔ وضاحت:√3 ≈ 1.732 (1 اور 2 کے درمیان)۔ √2 اور √3 دونوں غیر ناطق ہیں۔ (iii) 100/5 طریقہ کار: پہلے سادہ کریں: 100 ÷ 5 = 20 خط اعداد پر 0 اور 20 کے درمیان فاصلہ ناپیں۔ 0 سے دائیں جانب 20 نشان زد کریں۔ وضاحت:100/5 = 20 (صحیح عدد ہے)۔ تمام صحیح اعداد خط اعداد پر دکھائے جا سکتے ہیں۔ (iv) -2 (منفی 2) طریقہ کار: خط اعداد پر 0 نشان زد کریں۔ 0 سے بائیں جانب 2 اکائی شمار کریں۔ اس نقطہ کو -2 نشان زد کریں۔ وضاحت:منفی اعداد 0 کے بائیں جانب دکھائے جاتے ہیں۔ -2 کا مطلب ہے 0 سے 2 اکائی بائیں۔ (v) √8 (جذر 8) طریقہ کار: سادہ کریں: √8 = √(4 × 2) = 2√2 پہلے √2 معلوم کریں۔ 0 سے √2 تک کا فاصلہ ناپیں اور 2 بار کریں۔ خط اعداد پر 0 سے دائیں جانب یہ فاصلہ نشان زد کریں۔ وضاحت:√8 ≈ 2.828 (2 اور 3 کے درمیان)۔ اسے 2√2 لکھا جا سکتا ہے۔ سوال 3: ناطق عدد (p/q) کی شکل میں ظاہر کریں تصور کی وضاحت:کسی بھی عدد کو p/q کی شکل میں لکھنا ہے، جہاں q ≠ 0 ہو۔ (i) 0.4 حل:0.4 = 4/10سادہ کریں: 4/10 ÷ 2/2 = 2/5✅ p = 2، q = 5 (ii) 0.37 حل:0.37 = 37/100پہلے سے سادہ ہے (37 مفرد عدد ہے)✅ p = 37، q = 100 (iii) 0.21 حل:0.21 = 21/100پہلے سے سادہ ہے (21 اور 100 کا مشترک عامل 1 ہے)✅ p = 21، q = 100 سوال 4: استعمال ہونے والی خاصیت کا نام بتائیں تصور کی وضاحت:حقیقی اعداد کی خصوصیات کو پہچاننا ہے۔ (i) (a + 4) + b = a + (4 + b) جواب: ✅ جمع کی ساتھی خاصیت (Associative Property of Addition) وضاحت:اعداد کو مختلف گروہوں میں جمع کرنے سے نتیجہ یکساں آتا ہے۔فارمولا: (a + b) + c = a + (b + c) (ii) √2 + √3 = √3 + √2 جواب: ✅ جمع کی تبدیلی خاصیت (Commutative Property of Addition) وضاحت:اعداد کا ترتیب بدلنے سے جمع یکساں رہتا ہے۔فارمولا: a + b = b + a (iii) x – x = 0 جواب: ✅ جمعی معکوس خاصیت (Additive